CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC
celui dont on peut grouper « lettres identiques à E et (3 lettres identiques à F ((3 désignant toujours s — «).
Il résulte de là, et du principe de la probabilité totale (p. 47% que la probabilité cherchée est la somme des probabilités p* </ ? obtenues en assignant un ordre déterminé à l’avance aux événements E, F, et cela de toutes les manières possibles. La solution cherchée s’obtiendra donc en répétant p* q* autant de fois qu’il y a d’unités dans le nombre de manières d’arranger deux lettres E, F ; en en prenant a. identiques à E et {3 identiques à F, nous avons trouvé ce
nombre (Cliap. I, p. 14 et ia) égal à ~ jrr ou à C‘, et par
suite la probabilité pour que l’événement E ait lieu a fois et F, (3 fois, abstraction faite de l’ordre où ces événements se présentent, est
cîpV =
Pt
Remarquons dès à présent que cette probabilité est le a t l'èow terme du développement de (p -1- </)', ordonné suivant les puissances croissantes de p. Si « et (3 sont de très-grands nombres, on évaluera le résultat en remplaçant a! par sa valeur approchée oc*e' a y^îra, déduite de la formule de Stirling (p. 8).
Problème II. — Dans une série de s épreuves, l’ un des événements E, F, G, II, . . . doit nécessairement se présenter à chaque épreuve; les probabilités respectives de ces événements sont p, q , en sorte que
On demande la probabilité pour que E se présente « fois, F, (ifois. G, y fois, etc.
En reprenant les raisonnements faits plus haut, on voit
CALCUL DBS PROBABILITÉS.
que la probabilité pour que ces événements E, F, G, . . .
aient lieu dans un ordre fixé à l’avance est
P*q?rl
Si l’on fait abstraction de l’ordre, l’événement attendu pourra se présenter d’autant de manières que l’on peut grouper a lettres identiques à E avec /3 lettres identiques a F, avec y lettres identiques à G, etc., c’est-à-dire de
si
a r js î 7 r
manières (p. i5), et, par suite, la probabilité cher-
chée sera
ai jÜ! y! . . .
p a qî ri . . . .
C’est précisément le terme en /y a y p /* T ... dans (p-f-ÿ-h/’H-
Problème III. — Quelle est la probabilité poiu' que dans une série de s épreuves l’ événement E, dont la probabilité est p , ait lieu un nombre de fois compris entre cl — l et a -f- l?
La probabilité demandée est la somme des probabilités que cet événement aura lieu a — / fois, a — /+ i fois, . . . , a fois, a -f- i fois,..., a + l fois, c’est-à-dire, d’après ce que nous venons de voir,
crWî f+/ +cr /+, /- /+, î ? +/ - -f- . . .
q désignant toujours la quantité i — p. La probabilité demandée est donc, comme l’on voit, la somme des termes du développement de (p q)* compris entre le terme en p*^ 1 et le terme en p inclusivement.
Corollaire . — La probabilité pour que l’événement E ait lieu au moins n fois, c’est-à-dire pour qu’il ait lieu
