CE1AP1TRE III. — ÉTUDE DBS PHÉNOMÈNES, ETC

n fois, ou n 4 - 1 fois, ou n 4 - a fois, ... est

C ,Vÿ- 4- C" + >"+' 7'—' -t- ... ;

c’est la somme des s — «4-1 premiers termes du développement de (p - h q) 1 ordonné par rapport aux puissances croissantes de q. On verrait de même que la probabilité pour que E ait lieu au plus n fois est la somme des n 4-1 premiers termes de {p + q)‘i ordonné par rapport aux puissances croissantes de p.

Problème IV. — Soit toujours p la probabilité de l'évènement E, et q — 1 — p ; on demande quel est , dans une série de s épreuves , le nombre de fois que l'événement E a le plus de chance de se présenter.

Pour résoudre celte question, il suffit de se rappeler que les termes du développement de [p 4 - q)' sont respectivement les probabilités que l’événement E aura lieu o, 1, a,..., s fois dans s épreuves. Pour trouver le nombre de fois que cet événement a le plus de chance de se présenter, il suffit donc de chercher le plus grand terme du binôme ( p 4- q)‘ y soit

ce plus grand terme, le précédent et le suivant sont respectivement

En écrivant que l’expression (1) est plus grande que chacune des expressions (a), on trouve

p*~'qt+'

p'+'qt-'

( a — • ) ! ( P 4- 1 )t oc ! p ! («4-1)! ((J-.)!

ou bien

on en conclut

en ajoutant l’unité de part et d’autre, et en observant que p H- <7 r , on a

On voit ainsi que

(a - 4- i)p "^> a, mais (.ç + i)^<« + i,

et, par suite, « est le plus grand entier contenu dans p(s -4- i), de môme (3 est le plus grand entier contenu dans q(s -h i), et l’on a à peu près, quand s est très-grand,

a—ps, $—qs]

par suite, a et (3 sont sensiblement proportionnels à p et q. On serait déjà tenté de conclure de là que, si l’on fait un très-grand nombre d’épreuves, l’événement E et l’événement contraire se présenteront des nombres de fois proportionnels à leurs probabilités respectives-, mais il faut observer que le plus grand terme du binôme, qui correspond à l’événement composé le plus probable, n’a qu’une valeur très-petite, et pour nous en assurer, il suffit de calculer ce terme au moyen des formules approchées (p. 8 ) :

s! = s* e~ s ^ 2tt.v ;

a! = 7. a e-* \/27ra, p ! r- p? \j 7. TC p ;