CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC
On trouve alors, pour la valeur du terme en question,
2;ra(3 a“
c’est-à-dire, à fort peu de chose près,
'licpq
Lorsque s est graud, on voit que l’événement composé le plus probable l’est fort peu en lui-même, ainsi que nous l’avions annoncé.
Le simple bon sens aurait pu faire prévoir une partie des résultats qui précèdent*, mais ce qu’il était impuissant à révéler, c’est la manière dont les probabilités des événements se développent à mesure que l’on s’éloigne de l’événement le plus probable.
Bernoulli (Jacques) parait être le premier qui ait attiré l’attention des géomètres sur cette question ; il a énoncé, en ell'et, un théorème remarquable dans son Av s conjectandi, théorème qui a été beaucoup perfectionné depuis, surtout par Laplace et Condorcet. Voici l’énoncé du théorème de Bernoulli :
Théorème de Bernoulli.
Théorème de Bernoulli. — Soit p la probabilité d’un événement simple E, « le nombre de fois qu’il se présente dans une série de s épreuves; soit P la probabilité que
la différence entre p et - sera inférieure en valeur absolue à e. On peut toujours prendre s assez grand pour que P diffère de l’unité d’aussi peu que l’on voudra.
CALCUL DBS PROBABILITÉS.
Nous allons d’abord démontrer le théorème de Bernoulli } dans le paragraphe suivant nous indiquerons la manière de calculer la quautité P avec telle exactitude que l’on voudra.
Nous avons vu tout à l’heure que si l’on posait <7 = 1 — /?, (3 = i — «,
(i) 17 =C* l p*~ l qî+ l -h ... — ^
SI
représentait la probabilité que l’événement E aura lieu un nombre de fois compris entre a — l et a -+- /. Supposons que a représente le nombre de fois que E a le plus de chance d’arriver} comme l’on sait, a est le plus grand entier compris dans (s -h 1 )p, en sorte que l’on peut poser
g étant compris entre o et 1 , ou
a = sp + <0,
c«) étant moindre que 1 en valeur absolue } de meme
{3 — sq H-
et, comme on doit avoir a + (3 = 5, on en conclut (*)'= — ainsi
La formule de Stirling donne
si = *e-*fcTs e v (*\
(a — /)! = (a — /) a " , ‘c" a+i \j 2 n[oL — i) (p + /)! = (p +
