CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC

et l’on peut encore écrire

lim n -- —— I

sJ* J O

Sjipys

e~'( dy .

Or II représente la probabilité que E se présentera un

nombre de fois f compris entre a — l et a -f- /, ou, ce qui

revient au meme, que - sera compris entre et - -■>

c’est-à-dire entre p — - et p -f- or on peut prendre

-4. = oo et - = o, et cela d’une infinité de manières; alors V 5 5

on aura

\Jn J o

et l’on aura la probabilité i ou la certitude que le rapport

du nombre de fois que E se présentera au nombre total des épreuves s ne diffère pas de p . Cela démontre le théorème de Bernoulli. Il y a plus, l’intégrale

2 Ç' \'tï J o

c > dy

est une valeur approchée de la probabilité que E arrivera un nombre de fois compris entre a — l et a -{- /.

La loi des grands nombres, ou la généralisation du théorème

de Bernoulli.

Lemrne . — Soit f(S) une fonction réelle ou imaginaire

is.

g8 CALCUL DES PROBABILITÉS,

de la variable réelle 0, ou a évidemment

/(•)=/(o)+ f 9 f'(6-z)dz ,

et, en intégrant par parties, on trouve

/(«) =/(0) + e/'(o) 4- ^/"(o) 4- i f /-(O - z)z'dz.

Si dans l’intégrale du second nombre de cette formule on remplace f'"(0 — z ) par son module maximum g entre les limites o et 6 de z, on a

mod. — I f ( 6 — z)z , dz<^~ I pz*dz ou ,

et [x représentera aussi le module maximum de f" (6) entre les limites o et 0; en désignant donc par e une imaginaire dont le module est plus petit que l’unité, on pourra écrire

(«) /(«) =/(«) ■+ ®/'(o) 4- ~ /"(o) 4- re-

cette formule va bientôt nous être utile.

Loi des grands NOMBRES. — Poisson a donné le nom de loi des grands nombres à la loi suivant laquelle un événement, dont la probabilité n’est pas nécessairement constante à chaque épreuve, se répète dans un grand nombre d’épreuves. L’expression rigoureuse de cette loi n’est pas connue. Les efforts de Poisson ne sont cependant pas restés infructueux, et il est parvenu à généraliser le théorème de