CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC

Jacques Bernoulli, en suivant d’assez près une analyse que l’on peut lire dans le Traité des probabilités de Laplace, et qui est relative aux bénéfices des Compagnies d’assurances.

Désignons par p u p t , . . . , p t (*) les probabilités d’un événement E aux épreuves 11 08 i , 2 , . . . , 5, et par <71 , , . . . , q s * les probabilités de l’événement contraire F, en sorte que

Le principe de la probabilité composée nous apprend que la probabilité de l’arrivée deE aux épreuves n os 1, 2, 3 ,..., a, de l’événement F aux épreuves n os a + i, a *+- 2-,..., ( 3 , de l’événement E aux épreuves n 08 (3 H— 1 , ( 3 - 4 - 2 ,..., y,..., est

PiP* - P.q.„ Pf + ,Pi „- ••/>,•••• Si l’on n’assigne

pas aux événements E et F un ordre déterminé à l’avance, la probabilité P que sur s épreuves l’événement E aura lieu a fois, et l’événement contraire (3 = 5 — a fois, en vertu du principe de la probabilité totale, sera égale à la somme des produits obtenus en prenant a facteurs p et (3 facteurs <7 de toutes les manières possibles. Cette probabilité sera donc le coefficient de e*V-ï dans le développement de

JJ (tf -\-P c * ) — (<7 ■ -T- P I c * ' ) (tf * "+- P a v/-1 1 ) • • • (îi -+- Ps e * v/l ' ) ,

ordonné suivant les puissances de e 6 ^- 1 . Ce coefficient est

{*) Si l’on considère une urne contenant des boules blanches et noires, l’extraction d’une boule blanche sera un événement dont la probabilité variera à chaque épreuve, si l’on modifie aussi à chaque épreuve le nombre des boules contenues dans l’urne. Dans une Compagnie d’assurances, les sinistres sont des événements dont la probabilité est variable avec la nature de l’assurance relative à chaque sinistre ; c’est surtout à cause des applications que nous ferons au sujet de ces Compagnies que nous exposons la loi des grands nombres.

égal, d’après ce que nous avons vu p. 5, à

(i) P — ~ il

Pour évaluer cette intégrale, commençons par développer le logarithme de (ç suivant les puissances

de 6; nous aurons d’abord, en posant

log (<7 -rpc*'-') — /(9),

en vertu de la formule démontrée au lemme précédent,

(a) log($ -i-pe**-') — /(o) -+- 0/' o)

S’ ii5>

or on a

pe — i

ç 4- pe’ > v~‘

— pqe~*y/~'

(çe-V- +/,)*

! P<l\pe — qe ’ /

PI \ P ~ <1 ros - -+-P -+- <7 sin - V— 1 )

[^p + q cos ^ -+-/>— 7 sin ^ i j

Les formules (3) et (4) donnent pour 6 — o, en observant que p -hq ~ i ,

/'(°)=W— G /"(o )—-pq-,