CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉKOBÈNES, ETC

et ainsi de suite. Si l’on permet d’effectuer un nombre illimité d’épreuves, il est clair que l’on finira piar tirer une boule blanche, et, par suite, an a identiquement

a- 1- i [a i) (b -+- i) (a -H- i)[b ij(c -f i)

Cette identité, qui a cela de remarquable, qu’elle contient une infinité d’arbitraires, peut se démontrer directement, avec la plus grande facilité, en prenant, pour a, b, c,. . ., des nombres positifs, tels que le .produit

(a ~hi)(b + i)(f + 1). . .

croisse au delà de toute limite. On démontrerait avec une égale facilité la formule

soit directement, soit à l’aide du calcul des probabilités.

Si l’on prend a = a' = b = b' =. . .= i , on a la formule connue

pour a' = b' — c* = . . . = i «t a = i, b~ 2 , c = 3, . . . , on trouve

+ + r3 L Fb~ h --~’

ce que l’on peut vérifier, en observant que le second membre est égal à

JT 1 X 3 JC 4

xe*d . r = i .

Dans le courant de cet Ouvrage, nous aurons souvent l’occasion de nous appuyer sur le théorème de Bernoulli 5 nous croyons cependant devoir en présenter, dès à présent, une application qui avait déjà attiré l’attention de Laplacc et qui a donné lieu depuis à divers travaux intéressants.

Problème II. — On donne une série de droites parallèles, équidistantes, tracées sur un plancher très-uni; sur ce plancher on projette une aiguille très-Jine ; on demande la probabilité que cette aiguille rencontre l'une des parallèles, lorsqu elle sera parvenue au repos.

Soient aa la distance de deux des parallèles xx' et jy' quelconques, 2/ la longueur de l’aiguille. Il est clair que

Fig. a.

l’on ne change pas le rapport des cas favorables et des cas possibles : i° en ne considérant qu’une moitié de l’aiguille \ 2 0 en supposant que le centre O tombe sur une perpendiculaire donnée à xx' et à une distance de xx' au plus égale à a; 3 ° en supposant que la moitié considérée tombe à gauche de OB, en faisant avec OB un angle au plus égal

à Nous ferons alors ces hypothèses, ce qui ne change en

rien la probabilité de l’événement attendu.

Appliquons le principe de la probabilité totale, en examinant ce qui se passe dans chacune des hypothèses où le centre de l’aiguille tombe sur chacun des éléments dx de la