TT

et la probabilité totale est

ou bien

x dx arc cos - — > I a

arc cos - dx ;

lf

en effectuant l’intégration par parties, on trouve

ou bien

? xdx \Jl 1 — x 2

an

On arrive encore à ce résultat d’une 'autre manière $ en effet, supposons qu’au lieu d’une aiguille on projette urç

disque convexe, assez petit pour ne pas rencontrer deux parallèles à la fois, et de périmètre S; chacun de ses éléments ds a la même probabilité de rencontrer les parallèles; en désignant par pds cette probabilité, la probabilité que le

disque rencontrera les parallèles sera Y>pds ou p j’écris

~ et non pS, parce que la rencontre du disque a toujours

lieu par deux éléments , ce qui diminue de moitié le nombre des cas favorables à considérer ; pour calculer p , on peut faire une application au cercle de rayon R ; la probabilité que ce cercle rencontrera est évidemment égale au rapport du nombre des cas où sou centre sera à une distance inférieure à R de la parallèle la plus rapprochée à celui des cas où ce centre est à une distance inférieure à a de cette même parallèle; en d’autres termes, pour le disque

circulaire, la probabilité cherchée est — • On a, du reste,

S — 2 jrR ;

on a donc, pour déterminer p , la formule

— p 2xll — — , d ou p = — ; 2 a jr a

il en résulte que — est la probabilité relative à un disque

convexe quelconque. (Si le disque n’était pas convexe, on pourrait évidemment le remplacer par un autre convexe, obtenu en menant toutes les tangentes, communes et extérieures, à deux portions du périmètre.)

Une aiguille de longueur a l peut être considérée comme un disque convexe de longueur 4 1 et, par suite, la probabi-

lité relative à l’aiguille sera

° un