CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. ia

ment E soit le tirage d’un numéro déterminé d’une loterie ; si l’on tire ce numéro, on gagne la somme a; si l’on en tire un autre, on ne réalise aucun bénéfice) -, soit p la probabilité de E. Si l’on fait un grand nombre s d’épreuves, en vertu du théorème de Bernoulli, l’événement E se présentera un nombre de fois a, l’événement contraire se présentera fi fois et le bénéfice réalisé sera a» ; mais on a, à fort peu de chose près,

et

et, pour s — oo , cette formule devient rigoureuse; on a donc

aat

ap est donc le bénéfice moyen et ap diffère infiniment peu du prix qu’il faudrait payer le droit de faire une épreuve, pour ne faire ni perte ni gain dans une longue série d’épreuves.

il y a plus; si nous posons

q=z i — p et 0 ( 7 ) = -— I e~i dy (voir p. 97 et 106), V IT Jo

il y aura une probabilité P =

\\JipqsJ

que l’événement E aura lieu un nombre de fois compris entre a — / et a -+- / sur s épreuves, a étant à peu près ps. Donc il y aura la probabilité P que le gain réalisé sera compris entre

(a 4- l)a et (a — l)a,

et, si l’on paye apzïzz le droit de faire une épreuve, comme on a déboursé en tout sapzhse ou aotzhst , le bénéfice net aura la probabilité P d’être compris entre alzhes et — alzhes. Si l’on prend l d’un ordre un peu supérieur

à y/$, al sera négligeable vis-à-vis de et P sera très-voisin de l’unité •, il sera donc très-probable que l’on réalisera un bénéfice net dr e$; en d’autres termes, ap mesure Y importance de la somme éventuelle «, puisque, en payant ap-\-z , on finira par être toujours en perte, et en payant ap — e on finira par être toujours en gain.

On appelle espérance mathématique d’une somme a le produit de cette somme par la probabilité p de l’obtenir dans une épreuve. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème I. — IJ importance d'une somme éventuelle est égale à son espérance mathématique .

Supposons maintenant que la valeur absolue d’une somme éventuelle dépende de la manière dont l’événement E se présente (supposons, pour fixer les idées, qu’un coup de dé procure le bénéfice i , 2, 3 , . . . , 6 francs, selon que l’on amène le point 1, 2,..., 6 )} la valeur de cette somme, ou le prix que l’on pourra payer le droit d’effectuer l’épreuve, sera évidemment la somme des prix que l’on devra payer chacune des manières dont l’événement peut se présenter;

ainsi, dans l’exemple choisi, il faudra payer le droit

d’attendre le bénéfice procuré par le point as, -g- le droit

d’attendre le bénéfice dû au point 2, etc. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Théorème II. — Lorsque la valeur absolue d’une somme éventuelle varie avec la maniéré dont l’événe -