CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. I2g

qu’il représente le public. Ceci posé, je vais prouver que, si A et M jouent ensemble un jeu équitable, le plus riche des deux joueurs ruinera probablement l’autre.

Soient a la fortune de A et m celle de M, ces fortunes peuvent être considérées comme des mises et, si l’on appelle x et y les probabilités que A et M ont de gagner dans un jeu équitable, il faut que l’importance de la mise m pour A soit la même que l’importance de la mise a pour M : donc mx doit être égal à ay. On a donc

mx = ay, x -h y = 1,

d’où l’on tire

Si M représente le public, on a

m — ao et, par suite, x — o, y = i

et la probabilité y que A a de se ruiner devient une certitude (comparer ce résultat avec celui de la p. y g).

Il en est de cette vérité comme du mouvement perpétuel en Mécanique. Il est aussi difficile de faire comprendre à un joueur qu’il court à sa ruine qu’il est difficile de démontrer aux gens dont l’éducation scientifique a été négligée l’inanité de leurs combinaisons, lorsqu’ils veulent faire des machines créant indéfiniment du travail utile. Les joueurs ont leurs superstitions, comme ceux qui croient au surnaturel, et il est remarquable que des personnes, d’ailleurs intelligentes, refusent, dans certains cas, de vouloir faire usage de leur raison pour accepter, sans examen, des doctrines, tout au moins ridicules lorsqu’elles ne sont point funestes. Nous écrivons ici pour des gens raisonnables et nous ne nous appliquerons point à rétorquer tous les arguments, à détruire tous les préjugés des joueurs; ainsi que nous l’avons

dit, il existe des gens dont un côté de la raison est resté atrophié et pour lesquels la foi domine les arguments les plus sûrs et les plus solides.

Solution de quelques questions pour montrer l'usage que l'on peut faire de l’espérance mathématique.

Problème I. — Deux joueurs A et B jouent aux conditions suivantes : celui qui gagne une partie marque un point , dès que A a marqué a points ou que B en a marqué (3, le jeu cesse , et A gagne la mise de B dans le premier cas, B gagne la mise de A dans le second ; quelles doivent être les mises de A et R pour que le jeu soit équitable?

Calculons la probabilité que chaque joueur a de gagner; pour cela, désignons par f(u, v) la probabilité que, sur u-\- v parties jouées, A en gagnera u et B en gagnera v. On a, comme l’on sait (p. 88),

M-ft»

A peut gagner la mise de B : i° en marquant a points de suite dans les a premières parties ou, ce qui revient au même , « — i points dans les a — i premières parties et i point dans la a iime ; 2 ° en marquant a — i points dans les a premières parties et i dans la a -f- 1 ième ; 3° en marquant (a — i) points dans les a -h i premières parties et i dans la a -J- 2 lèm % etc., jusqu’à la «4-/3 — i ieme partie. La probabilité p que A a de gagner la mise de B s’obtiendra donc en appliquant le principe de la probabilité totale, les probabilités des causes successives étant les moitiés de