CHAPITRE Ut. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC

et les probabilités qu’elles donnent à l’événement attendu étant i , on trouvera ainsi

c’est-à-dire, en vertu de (i),

(g + »)t (a -f- fi — 2)1 ~1

On trouverait de même

1 1 rrp — n» , pi , ,ï±Lz±J-

l’élimination de p entre ces deux formules conduit à une identité qu’il serait plus difficile d’établir directement; du reste, p et i — p sont proportionnels aux mises de A et B : la question se trouve donc ainsi résolue.

Si l’on fait a — [ 3, on trouve

^ 2 (a — 1) ! | 2 a— 1 1 !2* ‘ ’ ’ 1 (a — 1) ! 2 IÏ Î J ’

et cette quantité est égale à

La même méthode s’appliquerait encore si, .au lieu de deux joueurs, on en considérait un plus grand nombre et si l’on accordait- le gain de toutes les mises au premier qui aurait amené un nombre de points, donné à l’avance et différent pour chacun d’eux.

Problème II. — A joue avec B aux conditions sui-

vantes : on jette deux dès sur une table ; lorsqu’on amène un point au-dessous de io, B donne à A autant de francs que l’on a amené de points; dans le cas contraire, A donne à B une somme fixe, qu il s’ agit de déterminer, de manière à rendre le jeu équitable.

A attend les sommes 2, 3, 4v • *, 9; la probabilité d’obte-

nir le point 2 est la probabilité d’obtenir 3 est -p car

il y a deux manières d’amener ce point, à savoir : as, deux

et deux, as. La probabilité du point 4 est car on peut

l’amener de trois manières : as, trois; deux, deux et trois, as; etc. : l’importance de la somme exposée par B est donc

ou bien Si nous désignons alors par x la somme que A

doit payer à B, nous trouverons, pour l’importance de cette somme, la valeur

Si nous égalons les importances des sommes attendues par A et B, nous aurons

d’où nous tirons pour x la valeur 3i fr , 33.

Problème II. — A et B jouent à pile ou face aux conditions suivantes : si A amène pile au premier coup, il reçoit 1 franc et le jeu cesse; s’il l'amène au second coup seulement il reçoit 2 francs, etc.; s’il l’amène au n‘ ime coup

CfUPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l33

seulement , il reçoit 2""" 1 francs ; quelle doit être la mise de A?

Si r on applique la règle de l’espérance mathématique à cette question, on trouve que la valeur espérée par À se

compose des termes ^ pour le premier coup, ~ 2 pour le

second, etc., ^ 2” 1 pour le n ihm * -, la mise de A devant

être égale à cette somme est, comme on le voit, infinie.

O11 a voulu voir, dans la solution que nous venons de donner, un paradoxe et le problème précédent est devenu célèbre sous le nom de problème de Saint-Pétersbourg. Nicolas Bernoulli avait imaginé, pour expliquer ce prétendu paradoxe, la notion de X espérance morale, sur laquelle nous ne nous arrêterons pas ; mais, pour peu que Ton réfléchisse, on s’apercevra bien vite : i° que, A pouvant, en définitive, gagner une somme infinie, il n’est pas étonnant que sa mise soit infinie; 2 0 que les arguments qui nous ont permis de définir avec précision l’importance d’une somme éventuelle ne peuvent plus s’appliquer ici. Et, en effet,

pour pouvoir dire que

est le prix qu’il faudrait

payer le droit de faire la n iime épreuve, il faut admettre que les joueurs puissent faire ensemble un très-grand nombre de parties, en mettant au jeu des sommes très-grandes sur des probabilités qui pourraient toujours être regardées comme très-petites, par rapport à l’inverse du nombre des parties jouées. Nous sommes alors en présence d’un cas où le théorème de Bernoulli tombe en défaut; c’est là, je crois, qu’il faut voir l’explication d’un fait qui répugne au sens commun et il faut en conclure que le jeu de Saint-Pétersbourg ne peut jamais être équitable.

Problème III. — Un bijoutier possède un diamant brut dont la valeur est a francs; on vient lui annoncer que ce diamant est cassé en deux morceaux ; un amateur , présent à ce moment, lui propose d'acheter les deux morceaux ; on demande quel prix il devra les lui faire payer, avant d’avoir comparé leurs volumes?

On sait que le prix du diamant varie comme le carré de son poids ou, si l’on veut, de son volume et, si le fait n’est pas très-exact, rien ne nous empêche de l’admettre dans le cas actuel. Prenons pour unité le volume total du diamant primitif et soient x et j - les volumes des morceaux, en sorte que

Les prix de ces morceaux seront respectivement ax* et or* et, par suite, le prix du diamant brisé sera

Or la probabilité que le volume du premier morceau sera compris entre x et x -f- dx est dx ; l’espérance mathématique du bijoutier dans ce cas est

a (x s -4- y’) rfx.

Si l’on fait la somme de toutes ces espérances pour les valeurs de x comprises entre o et 1 , on aura le prix que l’on devra équitablement payer le diamant brisé, à savoir :

a I (x’ 4- y , )dx.

En remplaçant y par sa valeur tirée de la formule (1), cette