CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC

expression devient

al ( 2 x 7 J O

ix -f- i)f/.r = - a.

Ainsi un diamant cassé en deux morceaux perd un tiers de sa valeur. En réalité, il devrait perdre davantage, à cause de l’irrégularité de la forme des fragments.

Supposons maintenant le diamant cassé en trois morceaux \ en raisonnant comme tout à l’heure et en désignant par x,y, z les volumes de ces morceaux, on trouvera, pour leur prix,

et l’on aura

L’espérance du bijoutier relative à des morceaux, dont les grosseurs seraient comprises entre x et x H- dx , y et r -f- dy , sera

a ( x? j 2 -f- z 2 ) dxdy ,

et l’importance du prix que peut espérer le bijoutier

a JJ ( x 2 - 4 - y' -h z 2 ) dxdy y

l’intégrale étant prise pour toutes les valeurs positives de a:, y et z, satisfaisant à la formule (2) ; en d’autres termes, il faudra calculer l’intégrale

ix — 2 y 4 - 2 xy -h 1 ) dxdy y

pour les valeurs de x et y positives, telles que

sa valeur est — •

Problème des partis.

Des joueurs se séparent quelquefois avant d’avoir terminé leur partie; le problème des partis a pour but de déterminer dans quel rapport ils doivent se partager l’enjeu. La règle de l’espérance mathématique donne immédiatement la solution de la question; en effet, supposons que des joueurs A, B, C,..., ayant la probabilité p, <7, r,... de gagner l’enjeu e, veuillent vendre leur droit de jouer à d’autres joueurs A', B', C', . . . , ces derniers devront payer à ceux dont ils acceptent la succession des sommes respectives pe , qe , / e, . . . égales à leurs espérances mathématiques. Donc /?e, qe , ;*e, . . . sont les parts afférentes aux joueurs A, B, C,..., lorsqu’ils veulent se séparer avant d’avoir terminé leur partie. On conclut de là l’énoncé que voici :

Règle des partis. — Lorsque des joueurs se séparent avant d’avoir terminé leur partie, ils doivent partager l’enjeu proportionnellement aux probabilités qu’ils au raient de gagner si la partie devait être achevée.

Eclairons ceci par un exemple :

Problème. — Deux joueurs. A, B, jouent en un certain nombre de points ; ils veulent cesser leur partie au moment où il leur reste respectivement a et fi points à marquer : soit p la probabilité que A. a de marquer 1 point, q celle que B a de marquer 1 point ; ces probabilités restant constantes pendant toute la durée du jeu, on demande dans quel rapport là et A doivent se partager l’enjeu.

Supposons que l’on fasse continuer le jeu jusqu’à ce que A et B aient marqué ensemble a -j- fi — 1 — s points. Il est