CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. I Z

clair qu’alors l’un d’eux aura marqué les points qui lui restent à faire et que l’autre n’aura pas marqué les siens; il résulte de là que la probabilité que A gagnera et que B perdra ne sera pas altérée, en supposant que l’on continue le jeu jusqu’au s iime point. Or, si l’on considère le développement

{p + <iY -p 1 + + ^~7 2 — / > '~v + • • •

PT

la somme des (3 premiers termes sera la probabilité que A marquera s points sur j, ou qu’il en marquera s — i sur 5, ... ; en d’autres termes, qu’il marquera au moins « points sur 5, c’est-à-dire qu’il gagnera. La somme des termes suivants sera la probabilité que B gagnera. L’enjeu devra être partagé proportionnellement à ces probabilités.

Ou peut encore résoudre la question comme il suit : A peut gagner : i° en marquant a points de suite; la probabilité de cet événement est p *. a 0 II peut gagner en marquant a. — i points dans les a. premiers coups et i point au« + la probabilité de cet événement est

y p*~'qXp

ou

3° Il peut gagner en marquant a — t points dans les a i premiers coups et i point au ce a‘* m * coup ; la probabilité de cet événement est

X /> ou

afa -t- 0

En appliquant le principe de la probabilité totale, on trouve,

pour la probabilité que A gagnera,

Si l’on rapproche ce résultat de la solution précédente, on trouve, en égalant entre elles les deux formes que prend la probabilité que A gagnera, une identité remarquable due à Poisson j nous l’écrirons en changeant (3 en ( 3 -f-i, et nous aurons

si

Si au lieu de deux joueurs on en considérait un plus grand nombre, les conditions du jeu pourraient se compliquer selon qu’après un meme coup un ou plusieurs joueurs marqueraient i point. Nous résoudrons seulement la question suivante :

A, B, C, . . . ont encore respectivement a, ( 3 , y, . . . points à faire pour gagner une partie déjà commencée ; ils ont des probabilités respectives p , <7, r, . . . de marquer 1 point à chaque coup, un seul d'entre eux marquant ce point, en sorte que p -4- q -f- /’ -f- . . . = 1 \ on demande comment ils doivent se partager l'enjeu.

11 suffit, pour résoudre ce problème, de calculer la probabilité que chaque joueur aurait de gagner si la partie se continuait. A, par exemple, peut gagner : i° en marquant a points de suite, ce dont la probabilité est p*\ 2 0 en mar-‘ quant a — 1 points en a coups et 1 point au a -+- i^ me , ce

CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 1 3 ç) dont la probabilité est

xp’-'q.q

le signe Z s’étendant à toutes les valeurs < 7, r, s,..., et v désignant l’unité; 3 ° en marquant a. — 1 points en a-4-i coups et 1 point au « + 2‘* m ' coup, ce dont la probabilité est

le signe Z s’étend cette fois à toutes les valeurs q, r, i, . . . , les exposants 0 et w pouvant être o, 1 ou 2, mais leur Somme faisant toujours 2. Ajoutons enfin qu’il faudrait exclure de dessous le signe Z les termes en q x si (5 = 2, les termes en /•* si y = 2, etc., absolument comme sous le premier Z que nous avons rencontré; il aurait fallu supprimer les termes en q si l’on avait eu ( 3 =*, les termes en r si l’on avait eu y — 1 . Enfin il est clair aussi que, si l’on avait dû supprimer les termes en q sous le premier signe Z, on devrait les supprimer aussi sous le second, ainsi que les termes en a fortiori, en poursuivant ce raisonnement et en appliquant le principe de la probabilité totale, on trouve, pour la probabilité que A gagnera,

les signes Z étant compris, comme nous l’avons expliqué tout à l’heure.

Le problème des partis peut se compliquer si la probabilité des joueurs varie à chaque coup; mais il se résout toujours par les mêmes principes. Par exemple, si deux individus, A, B, jouaient à rouge ou noire avec un jeu de

piquet, la probabilité de tirer rouge ou noire varierait avec la nature des cartes déjà sorties, c’est-à-dire avec la composition du paquet d’où l’on tire les cartes. Il est facile de voir, par exemple, que la probabilité que A aurait de gagner en pariant toujours pour rouge, quand il reste N cartes noires et R cartes rouges, serait la somme des probabilités :

qu’il sortira a. rouges de suite en a coups -,

a N . R (R — i) . . . (R — a -4- 2 ) R — a-f-l 2 (N + R)(N + R-i)...(N + R-«+i) N-hR— a

qu’il sortira a — i rouges dans les a premiers coups et i rouge au a -j- i 1 '""’, et ainsi de suite.