CHAPITRE IV, *— SUR J.ÇS MÉTHODES, ETC

T désignant, pour abréger, l'intégrale

<j>(x 1 dx.

Laplace et Poisson arrivent au même résultat, mais par une voie toute différente. Nous pouvons maintenant faire diverses hypothèses sur la nature de la fonction cp :

Supposons <p(x) constant entre les limites — - et

toutes les erreurs sont alors aussi probables les unes que les autres j ce cas se trouve réalisé dans la pratique, lorsque Ton fait dans les Compagnies financières une répartition de bénéfices entre les actionnaires, et que cette répartition se fait par nombres ronds de francs. L’erreur

est sur chaque résultat moindre que i franc, et toutes les

erreurs comprises entre ~ et -+- i sont également probables. Dan6 ce cas, la formule (5) donne

la constante k se détermine en observant que

d’où l’on tire k = i .

La formule (4) devient alors

—auJ—i sin ul

du

io.

l48 CALCUL DES PROBABILITÉS.

en prenant a = o, on aura la probabilité que

x { x, H- ; . . h- x t reste inférieur à l en valeur absolue ou

On pourrait, si l’on y tenait, obtenir le développement de P en série : il suffirait, pour cela, de partager l’intégrale en plusieurs autres, dont les limites différeraient de 2 7r et que l’on évaluerait en les développant suivant les puissances de w, de 2 ir — m, 4^ — mais, dans les ap-

plications, il est plus avantageux de se contenter d’une solution dont l’approximation ne peut pas être poussée aussi loin que l’on veut, à la vérité, mais qui donne immédiatement une idée de l’erreur admissible. Observons que l’intégrale (6) n’a de valeur sensible que pour les trèspetites valeurs de u lorsque s est très-grand $ on a alors

2 sin - u

2/1 1 ir

ou, à fort peu de chose près,

2 sm - u

et, par suite, l’intégrale (6) devient

-if