CHAPITRE IV* — SUR LES MÉTHODES, ETC. l

somme des erreurs commises sur s observations est comprise entre — l et aMj -4- l était donnée par la formule

c’est la probabilité que la moyenne des erreurs est comprise entre M, — - et Mj -H -• Si nous posons - = X, nous

SS s

aurons

M, - Mj) J’

et P représentera la probabilité que la moyenne des s erreurs est comprise entre Mj » — X et Mj -f- X. Or, en appelant m l5 m,,..., nt s les mesures données par l’observation de la quantité co que l’on cherche, on a

JC X i ■ 0) ' TTl | } «37 2 " ■ Ot) ■■ • » • y X s . — • O) TTh

d’où l’on conclut, en ajoutant et divisant par s,

iîioy . x = « — moy. m.

Ainsi la différence entre cd et la moyenne des observations est la moyenne des erreurs ; on peut donc dire que :

Théorème. — Lorsque V on cherche à mesurer une quantité co , la différence entre cette quantité et la moyenne des observations est une quantité qui a la probabilité

© r \ \ is i

de se trouver comprise entre M, — X et Mj -f- X.

Lorsque les erreurs systématiques ont été éliminées, les

erreurs par excès et les erreurs par défaut deviennent aussi probables les unes que les autres ; alors 011 a

xy{x)dx — o,

et l’on a la probabilité

y» Mi

que co diffère de la moyenne des observations d’une quantité inférieure à X. Si l’on se donne P très-voisin de l’unité, on voit que le produit X \Js devra conserver une valeur constante liée à la valeur donnée de P, et, par suite, si s est très-grand, X pourra être très-petit, ce qui tendrait à prouver que la moyenne d’un très-grand nombre d’observations approche constamment du résultat exact et avec une rapidité dont la mesure est la racine carrée du nombre des observations. Cette conclusion, il ne faut pas l’oublier, ne s’applique qu’au cas où les erreurs systématiques sont éliminées.

Pour calculer P, il faut, comme on le voit, connaître M s , et il semble que la connaissance de la fonction <p soit indispensable $ toutefois, si l’on se rappelle qüe la moyenne des carrés des erreurs s’écarte fort peu de M s ( voir p. 1 5 a), on pourra, pour le calcul de P, remplacer M, par la moyenne des carrés des erreurs calculées a poster'ioii, c’est-à-dire que, rrii désignant la mesure fournie par l’observation O t ,

on prendra pour valeur de M* la quantité — cd, qui en

diffère très-peu; l’erreur commise sur l’observation O, sera sensiblement égale à cd — et par suite la valeur approchée de M, sera — - •