CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC

Sur la détermination de la fonction ?.

Supposons que l’on ait éliminé avec soin les erreurs systématiques; nous avons vu que la probabilité que la valeur

exacte w dillere de la moyenne = p des

observations d’une quantité inférieure à X était

Cette quantité peut être prise aussi voisine de l’unité que l’on veut en prenant s assez grand; il en résulte que, quand s est très -grand, la valeur la plus probable de e*> est p; mais ceci n’est vrai : i° que si s est très-grand; 2° que si le*s erreurs systématiques ont été éliminées, ou, ce qui revient au meme, que si Mi = o.

Gauss a démontré, dans la Theoria motus corporum cœlestium , que si l’on admettait a pr iori que la moyenne p était la valeur la plus probable de «, la fonction <p était déterminée à une constante près. Voici l’analyse de Gauss un peu simplifiée :

La probabilité du concours des erreurs æ t = w — •m 1 , x t = a) — m 8 , . . . , x s = &> — m t dans le courant de s observations est

doc | doc j . . . doc ^

ou, si l’on veut,

ÿ(w — /72,)<f(w — m 2 ) . . • doc j . . ,dx s .

En vertu du théorème de Bayes, si l’on considère cd comme la cause des erreurs x l5 la probabilité de

cette cause, quand on aura observé ra 4 , ra s ,..., sera

ep( J?,) <p(j7,) . . . dx 7 . . ,dx t

. . .<p (.r,) <f(x j). . .dx x dx*. . .rf-r,

Le dénominateur est le produit de s facteurs égaux à l’unité et, par conséquent, la probabilité de la valeur w de la quantité à mesurer est

<p(x,). . .^[x,)dx x . . .dx si

ou, pour parler plus correctement, l’expression précédente est la probabilité que la quantité à mesurer est comprise entre w et w + La valeur la plus probable de « est celle qui rendra

<})(x,). , .?(«*#) ou (f [ M — m,)y(w — m ? ), . . <y(« — m t )

maximum, c’est-à-dire qui annulera la dérivée de cette quantité, ou

cp(w — m,)

Nous connaissons cette valeur, qui est, par hypothèse, la moyenne p $ on a donc une propriété de la fonction cp, qui est donnée par la relation

Y nu)

2j cp( ^ — /T2, ) °’

qui doit avoir lieu identiquement, c’est-à-dire quels que soient m 1 , m 8 , .... Si l’on pose

on a

2F(p — nti) = o.