CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC. l5g

En diflêrentiant, par rapport à m„ m,,. . m„ on trouve

du. du. I

mais, comme — — = — - =• . .= -> on en conclut que «/«, a/w, s J

c’est-à-dire que la fonction F' ( x) conserve la même valeur, quel que soit x : on peut donc poser

et, par suite,

F(x)= ihx -4- h' t

h et h' désignant deux constantes. Remplaçant F(x) par sa valeur, on a

= ihx + h\

et, par suite, en intégrant,

logç(jr) = hx > -\- h' x -t- h ",

d’où l’on tire

Si l’on fait x±oo, cj(x) doit s’annuler, ce qui exige : i° que h soit négatif-, a° que h' soit nul. En remplaçant alors h par — h* et h" par logÂ", on aura

On peut encore déterminer h en observant que l’intégrale de (x) dx est égale à i , entre les limites — oo et -4- e© :

on a donc

r* -h oo

ce qui peut s écrire

donc enfin

—y— = I , d OU A ■ = —

h v/tt

cp( x ) — — — e~ k ' x ' .

La constante h ne peut pas être déterminée et, en effet y c’est d’elle que dépendra la précision des observations.

Si l’on calcule l’erreur moyenne y/i\I 2 , on trouve

e — A'x'dx

on a donc

00 sjrc h

C’est en partant de cette hypothèse sur la forme de la fonction <p, hypothèse gratuite (car a priori on pourrait choisir comme résultat le plus probable la moyenne géométrique avec autant de raison que la moyenne arithmétique) que Gauss est parvenu à justifier pour la première fois (1809, Theoria motus, etc.) la célèbre méthode des moindres carrés, imaginée en i 8 o 5 par Legendre et que nous allons exposer tout à l’heure.

Méthode des moindres carrés.

Dans un grand nombre de questions de Physique ou d’ Astronomie, on est conduit à déterminer certaines quantités