CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC. l6l

à l’aide d’équations dont les coefficients sont donnés par l’expérience. Au lieu de faire le nombre d’expériences strictement nécessaire à la détermination des inconnues, en d’autres termes, au lieu de faire un nombre d’expériences égal au nombre des inconnues, afin d’avoir autant d’équations à résoudre que d’inconnues à déterminer, on multiplie en général le nombre des expériences autant que possible. On a alors des équations en nombre bien supérieur à celui des inconnues, mais qui ne sont pas rigoureusement compatibles, puisque les mesures ne comportent pas une précision absolue*, et, de la discussion de ces équations, on conçoit qu’il puisse résulter plus d’exactitude que si l’on prenait seulement celles qui sont rigoureusement suffisantes à la détermination des inconnues. Nous allons maintenant montrer comment on peut obtenir cet accroissement de précision, en supposant d’abord que l’on ait affaire à des équations du premier degré.

Supposons donc qu’il s’agisse de déterminer n inconnues .r, jy, z,. . ., au moyen d’équations approximatives de la forme

Ces équations, fournies par l’expérience, sont en plus grand nombre que les inconnues, et, si les observations qui les ont fournies étaient faites avec toute la perfection voulue, elles seraient compatibles *, en réalité, elles ne le sont pas et il s’agit alors d’en déduire les valeurs les plus probables des inconnues.

Pour calculer x, nous multiplierons chacune de ces équations par un facteur particulier et nous ferons en sorte

qu’en les ajoutant le coefficient de x soit 1 et celui des autres inconnues zéro. Nous trouverons alors, en désignant par A t , les facteurs en question,

formule à laquelle nous devrons joindre les suivantes :

Désignons par.gj, s 2 , £ s ,... les erreurs qui affectent les quantités Àj, et par £, yj, £, ... les erreurs qui af-

fectent les inconnues .r, j', 2, . . . données par la formule (2) et ses analogues; en sorte que, si l’on mettait pour ,r, y, z, . . . leurs valeurs exactes x -H £, y -H r, . . . dans (1), les seconds membnis devraient être remplacés par k t -h £1, Ær* H- £g, . . ., k s -\- e,} on aura évidemment, de la meme façon qu’on a obtenu la formule (2),

de cette formule et de la formule (2) on tire

Cherchons la probabilité que l’erreur { sera comprise entre des limites données a — / et a -h /. Soient cp t (£ t ) la facilité de l’erreur £,, cp 2 (e 2 ) la facilité de l’erreur £ s , etc., la probabilité du concours de ces erreurs sera

f 1 ( Si )cp2 ( *2 ) . . . <? s (e s )dc, d & 3 . . . ds t .

Si l’on fait la somme des valeurs de cette expression pour toutes les valeurs de e satisfaisant à la relation

on obtiendra la probabilité cherchée P (pour plus de dé-