CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC. l

Or M{ et M, sont très-petits et l n’a pas besoin d’ètre trèsgrand pour que y acquière des valeurs voisines de 2, 4 ou 3 ; on voit alors que P sera très- voisin de l’unité et il y aura une très-grande probabilité que £ différera peu de XXM,, qui sera sa valeur la plus probable; si l’on a éliminé avec soin les erreurs systématiques, M, sera nul et P sera maximum, quand y sera le plus grand possible; or y dans ce

cas est égal à [. : et, pour un même écart /, y sera

d’autant plus grand, P sera d’autant plus voisin de l’unité que DM, X 1 sera plus petit.

Tous les efforts du calculateur devront alors tendre à choisir pour X,, X,,... un système de valeurs telles que SM, X* soit un minimum.

Avant d’aller plus loin, discutons les résultats auxquels nous venons de parvenir. Nous avons beaucoup abrégé le raisonnement qui précède, à cause de sa ressemblance en tous points avec celui de la page 1 44 > mais nous croyons devoir insister sur ce que, si nous avons négligé les termes contenant les M s , M*, . . . , c’est non-seulement à cause de la petitesse de ces quantités, mais, surtout encore, parce que, dans la formule (7), l’intégrale, prise par rapport à «, n’avait de valeur sensible que pour de petites valeurs de m, à cause du grand nombre de facteurs placés sous le signe TI, qui sont tous moindres que l’unité, quand u est différent de zéro, ce dont on s’assure en remarquant que déjà

Du reste, il est important d’observer que, si l’on avait posé

\ir

Vtr

c’est-à-dire si l’on avait supposé la loi de facilité des erreurs donnée par la formule de Gauss, on aurait eu au lieu de ( 7 )

c’est-à-dire exactement

/» — f- GO u * • ;

v='-f IX e T7r e " w “‘ ^ du >

et, en prenant a = o,

-iJC

— «*2^; sinw/

du.

La valeur de cette intégrale a déjà été trouvée plusieurs fois et l’on a

= 7 = f'r*éu 7 = — =*,

on est ainsi amené à rendre minimum la quantité ^ ~ ;

si l’on se rappelle que h 9 est égal à on est, comme

tout à l’heure, conduit à rendre minimum la quantité

et ce résultat, qui n’était qu’approché, devient rigoureux

dans l’hypothèse de Gauss sur la forme de la fonction <p.

En résumé, la question est ramenée à calculer X,, A*,. . .

de telle sorte que ^ ^ soit minimum et de telle sorte aussi

que les formules (3 )

2û> = i, 2&X — o, 2cX = o,...