TROISIEME PARTIE

et , comme précédemment , on cherchera les |>oinls d’ombre a' 5' •/' et ’t dans la fig. 1. Enfin on mènera par j3 et F des droites, qui marqueront, ainsi que les deux lignes * y et y ,5, sur le plan incline de la fig. I, le contour de l’ombre du corps R.

Si l’on admettait que ce corps prismatique fut recouvert par un plateau P P ’ de forme carrée , alors on trouvera l’ombre des huit points qu’il faudra déterminer, à l’aide de la même construction qui a été employée pour déterminer les pointsa, b, c et il , ainsi qu’on peut le voir par cette figure.

S’il s'agissait de tracer sur le plan incliné m' tv <>' p' la projection de l'ombre portée K' et du plateau, vus en projection horizontale (/<j- III) , on devra faire attention que, suivant le (§ 346 a), le rayon lumineux /' forme avec x y un angle de 45 degrés. On devra donc mener de a, b, c , d et des angles du plateau, les projections des rayons lumineux parallèlement /’; les couper par des perpendiculaires que l’on abaissera des points correspondanlsde la fig. I sur x yen *, ?, y, J et dans les points qui déterminent l’ombre du plateau ; enfin on reliera i et d, ainsi que ? et b par des lignes droites. On restera convaincu que ces lignes sont effectivement des lignes droites et ne figurent pas des lignes brisées par leur passage du plan horizontal sur le plan incliné tu' »' o' p,, si l’on fait attention qu'elles sont les projections des plans lumineux qui dans la fig. III sont tangents au corps le long des arêtes b et d. Ces plans lumineux sont eux-mêmes perpendiculaires au plan horizontal , et c'est pour celte raison que chaque projection de ces plans devra apparaître aussi sous forme de ligue droite.

§ 348. Problème . — Trouver l’ombre portée que projette un cône acb {fig. 1 16), sur un plan vertical m n o p, ci sur un plan horizontal, ainsi que la limite de l'ombre sur sa surface courbe.

Solution. — On mènera une ligne cd parallèlement avec le rayon lumineux I, on la prolongera jusqu'à ce qu'elle coupe en d la ligne prolongée po, et on élèvera en ce point d une perpendiculaire sur po. Ensuite on mènera par le centre c’, sur le plan horizontal , la ligne c h parallèlement avec l', on la prolongera jusqu’à ce qu’elle vienne couper cette perpendiculaire en li , puis on cherchera les points h et g , dans lesquels les lignes menées de h sont tangentes à la circonférence du

corde ; (à cet efTel, on décrira par A et e le cercle h ik q') . Si alors on mène les tangentes h k et h' q , celles-ci marqueront sur la surlace du plan horizontal, les limites de l'ombre portée dont on ne pourra voir ici que la portion qgfk', à cause de la distance rs qui sépare le cône du plan vertical. Au point d'intersection u, des lignes op et c H on élèvera sur op une perpendiculaire, qui coupera ctl en h, puis on mènera les lignes ht) et Itf; et le triangle ghf sera alors l'ombre portée que la portion supérieure du cône projette sur le plan mnop.

Si la distance du cône au mur était telle, quec’ vienne se placer en C, alors le sommet c ou C projetterait son ombre en il, et, dans ce cas, le plan m n o p ne recevrait aucune portion de l'ombre portée du cône.

Les rayons c k’ et c 1 q sont les projections des côtés de la surface cylindrique désignés par les mêmes lettres, ils sont les lignes génératrices des limites d'ombre A A' et q' A’, et forment, par suite, la limite de l’ombre sur la projection horizontale et indiquent , lorsqu'on les projette sur la projection verticale, les limites c A et cq de l’ombre. La portion restante de la surface côuique reste dans la lumière, et les lignes c‘ e’ et e« déterminent le lieu où la lumière est la plus intense, quoique d'ordinaire dans la projection horizontale d’une surface polie, celle-ci se trouve plus vers cq, et cela à cause de la réflexion.

Ou pourrait encore trouver sur mnop l'ombre portée du cône à laide de la construction indiquée pour la fuj. 1 1 2, c'està-dire en menant à une distance quelconque du sommet c, une coupe horizontale r te, {/itf. 1 16), par le cône , en projettant cette coupe sur le plan horizontal . puis en cherchant ensuite son ellipse d’ombre, et colin en menant, à partir de A, deux tangentes à cette ellipse. On voit enfin, par ce que nous venons de dire, qu’elle serait la méthode à suivre pour pouvoir déterminer l'ombre portée d’un cône tronqué « rtc b sur une surface mnop.

% 349. Si le plan mnop, sur lequel le cône projette son ombre, avait, une inclinaison p' o ' , [ftg. 117), on trouverait alors, ainsi que, du reste, cela se voit pur cette figure, l'ombre portée /'A y sur le plan vertical , et q' g' f k' sur le plan

THOISIKME PARÏ1K.

horizontal. à l'aide du procédé indiqué au paragraphe précédent.

Si uu corps .V U de forme parallepipidique se trouvait posé contre mnop, on se représentera alors le plan antérieur qui est parallèle avec ro no p, et dont la ligne A’ IV est la projection sur le plan horizontal, coiume étant élargi par le haut et parle bas, et on cherchera, sur ce plan, parle même procédé l’ombre portée r h’ s, niais dont on ne pourra voir que la portion lutev. Sur le plan supérieur de ce corps dont AB est ta projection, l’ombre s'étendra de tv vers .ra, et apparaîtra, pour celle raison, limitée par les lignes t' x et v z' dans la projection horizontale.

L’ombre portée du corps À B lui-même sera trouvée d’après les indications données pour la fîg. 1 0 1 a.

§ 350. Problème . — Trouver l’oiiibrc portée qui est projettéepar un prisme à quatre pans K. K 1 , sur un cylindre C, C,

(As- ns).

Solution. La construction qu’il est nécessaire d’employer ici se distingue de celles que l’on a indiquées jusqu’ici, en ce que les plans lumineux que l’on se représente sur le plan hozontal, placés verticalement sur les projections des rayons lumineux, forment sur le plan vertical avec la surface sur laquelle l’ombre est projeltée des lignes d’intersection courbes au lieu d’être droites.

Pour trouver l’ombre du jKvint B, on mènera sur le plan horizontal par B un rayon lumineux parallèle à /' et on construira sur le plan vertical l’ellipse dans laquelle le plan lumineux, placé verticalement sur le rayon lumineux en question, ira couper la surface cylindrique. Mais le rayon lumineux passant par B se trouvera lui-même dans ce plan lumineux , ainsi que nous l'avons fait voir daus le § 324, et il atteindra la surface cylindrique daus le point où l’ellipse est coupé sur le plan vertical par la projection de ce rayon lumineux. Or, comme ceci a lieu au point b , il s’ensuit que b sera l’ombre du point B. On trouvera, à l’aide du même procédé, les ombres des points A, A' et B’, comme aussi celles de tous les points que l’on admettrait sur ces lignes, pour pouvoir déterminer sur la surface cylindrique, l’ombre portée cl ainsi ai// a’ se trouvera être l’ombre du plan supérieur A B du prisme.

Il es! évident que les ellipses passant par h et a' sont en même temps les ombres portées des arêtes du prisme , dont les projections sont figurées sur le plan horizontal par les points B cl A', qu’ellesdélerminent aussi sur le plan vertical la limite de l'ombre portée du prisme , qui se confond dans la ligne e f avec celle de l'ombre de la surface C5lindrique , et que la base fg du cylindre , qui fait face à l'observateur, se trouve dans l’ombre , parce qu'elle n’est point frappée par les rayons lumineux qui sont parallèles avec

Si l'on projette les points a, b, b' et o' du plan vertical dans le plan horizontal , et môme dans les projections correspondantes des rayons lumineux, on obtiendra alors les points • , p, £ a' comme étant les projections de ces points, ainsi que l'ombre portée entière du prisme A' «’ |S’;S B daus cette projection. Il faut toutefois remarquer que la projection du point a ne peut, dans le cas actuel, être indiquée dans la projection horizontale, parce que ce point a est placé sur la moitié inférieure de la surface cylindrique , et c’est pour cette raison qu’elle se trouvera, dans le plan horizontal, sur la [wrtion de la surface cylindrique située en arrière et qui n’est pas visible. On trouvera facilement , à l’aidedes points y' et h' le lieu de l’ombre, ainsi que celui de l’ombre portée dans la projection horizontale, ainsi que cela ressort de l’examen de la figure.

Si on mène ym parallèlement h I, y h parallèlement à si l’on fait la perpendiculaire nq = mr et si l’on mène yq. alors l’angle qyn indiquera, d’après le § (322. a.) l’inclinaison véritable du rayon lumineux vers la surface horizontale du tableau, parce que < qyn = < Vy°- Si maintenant on se représente, dans la projection horizontale, la base du cylindre également retournée, de telle sorte ipi'elle apparaisse sous la forme du cercle z, et si on lui mène une tangente parallèle avec y q, alors on obtiendra aussi les points G et h', et l'angle G h' y' — < jiyo, et sera comme tel le véritable angle d’inclinaison du rayon lumineux.

§351. — Si donc il s'agissait de trouver sur une surface courbe l’ombre d’un point quelconque, lorsqu’il aura été donné sur le plan horizontal et sur le plan vertical , alors le procédé indiqué au § 324 et qu’il faudra suivre, ne subira de