TROISIÈME PARTIE

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modification que dans le cas où l'on aurai! à rechercher ici la ligne courbe d'interseclioii, suivant laquelle la surface sera coupée par le plan lumineux, tandis que précédemment, on n’avait besoin de mener qu’une seule ligne droite. Pour le reste , l’ombre portée du point se trouvera ici comme là.

§ 352. — Problème. — Trouver l’ombre portée qui est projettée par un corps K , K 1 sur le plan mnop, iig 119, sur lequel se trouvent le demi-cylindre C, C',el la moitié du prisme à six faces P, P’.

Solution. — L’ombre portée cherchée sera engendrée par l’arête perpendiculaire à M , et figurée par m p, ainsi que par l’arête supérieure p M figurée par m. Si l'on mène sur le plan horizontal le rayon lumineux M b' parallèlement à I' , alors ce plan lumineux coupera le cylindre suivant la moitié d'ellipse bab,e t le prisme suivant la ligne brisée bc c b. Si, d'autre part, on mènejsur le plan vertical la ligne m b' parallèlement à I, alors m' sera , d’après ce qui précède , le point d'ombre de m ou M , et rni ak marquera sur la surface cylindrique la limite de l’ombre portée , bcc marquera la même ombre sur le prisme, et mb'b' celle sur le plan mnop; cette dernière ne sera toutefois visible ici qu’en mr et en certaines parties de la ligne b’ b' . L'ombre portée b g fij u du demi-cylindre est déterminée , d'après les indications données pour la Iig. 113, c’est-à-dire par le demi-cercle h h et par la limite de l'ombre et ou plutôt ek; de même celle du demi-prisme pourra être trouvée à l’aide de la moitié du polygone li h et de la limite de l’ombrees ou ec.

11 y a encore à remarquer que la limite d'ombre représentée par r m est naturellement une courbe et même une portion d'ellipse , mais il est nécessaire ici qu’elle apparaisse comme formant un prolongement de la ligne droite m r, parce que la ligne m m' est la projection d’un plan formé par les rayons lumineux , plan qui est tangent à l’arête supérieure (M/i) du corps projetant ombre, § 339. Cette limite d’ombre apparaîtrait même partout sous forme de ligne droite, si les rayons lumineux arrivaient sur le plan horizontal dans la direction de Mu, auquel cas le point m ou M projetterait son ombre en x; d’un autre côté , elle se prolongerait jusqu’au point supé-

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rieur A comme élaul une portion d’ellipse, si les projections des rayons lumineux arrivaient sur le plan vertical dans la direction de m ;/ ou même de m »».

§ 353. — La fig. 1 20 se distingue de la fig. H9 , en ce qu'ici le plan mnop, ainsi que le corps K , ont une position inclinée vers le talileau. On pourra du reste se servirde la construction indiquée dans le § précédent pour la détermination de l’ombre et de l’ombre portée , et c’est aussi pourquoi on a désigné plusieurs points essentiels de celte figure par des lettres semblables.

Mais, en général , il est encore nécessaire d’observer ce qui suit :

1" Si la moitié du cylindre cl le demi-prisme étaient enlevés, in b' B serait alors l’ombre entière du corps K sur le plan , de telle sorte que le point M projettera son ombre en b\ si MA’ est mené parallèlement à /, que, d'un autre côté, tu b" sera l’ombre de l’arête Mm, et A' B celle de la portion M B de l’arête MM;

2* L'ombre rm\ au lieu d'être ici une courbe, est une ligne droite, que l’on trouvera en adoptant sur M ' p plusieurs points, par exemple : s’ et a', qu’on projettera sur M tu, en * et A, puis en construisant sur le plan vertical en a' f' et aA' les moitiés d’ellipses et A a b (qui seront semblables à la moitié d'ellipse AaA), enlin, en coupant ces ellipses aux points x et y, au moyen de lignes partant de s cl A , et qu’on mène parallèlement à / , et en menant en dernier lieu par z, y , xetm' , une courbe ;

3” On trouvera la limite de l'ombre portée k e sur le cylindre, en menant contre l’ellipse AaA un tangente lu parallè lement à I, et qui touchera celle ellipse en k , puis en prolongeant celte ligne jusqu’à ce qu’elle coupe en u la ligne A' B et détermine ainsi le point qui, étant relié avec y , marquera en ce lieu la limite de l’ombre portée;

4” Pour trouver la limite de l'ombre portée projettée par le prisme sur mnop, on mènera au point inférieure, la ligne w e [wrallèlcment avec / , et on reliera e et y par une ligne droite ;

5” Si l'on mène les lignes Aï et cz parallèlement à i, on ol»-