DEUXIÈME PARTIE

faillirait alors suivre le procédé indiqué au § 340 pour pouvoir trouver la ligne d'oinbre du cercle.

Disons encore que si A B E D était la projection d'un cylindre F B’ D’ G placé contre m n e p, on devra alors mener les tangentes II A et li parallèlement avec / ou à Ce. pour pouvoir déterminer le contour de l’ombre H d e i 1. Les portions H' K et I' Lde la surface cylindrique figurées par II et I, et le demicerdc H I) El sont, dans ce cas, les lignes génératrices de l’ombre portée et en même temps les limites de l’ombre au corps.

§ 343. — D’après ce qui a été dit au § 341 , il sera facile maintenant de trouver sur le plan mno/i l’ombre projetée par un cylindre creux AB ED ( fuj . lit), parallèle à ce plan, étant donné, les distances K C' et K 7 ' des centres à la ligne op, ainsi que la direction l et l' des rayons lumineux. On cherchera donc , d'après le § 324 , les ombres r et 7 du centre C ou des centres C’ et 7 ; et on décrira du point d'ombre de ce centre C , avec le rayon c b = C B , le cercle a h c d et de c , avec, le rayon e j = C G , le cercle concentrique f'jhi. Avec le même rayon , on décrira aussi du point d’ombre du centre y, deux cercles concentriques, et on mènera les tangentes q r et si qui représenteront l’ombre des côtés de la surface cylindrique (igurés par B et T, lesquels côtés marqueront aussi sur cette surface la limite de l’ombre; et c’est de celte manière que l’on parvient à donner à l'ombre portée la forme représentée dans la fig. lit.

Si le plan m n u p n’était point parallèle avec les cercles , ous’il figurait une surface courbe, on ne pourrait faire usage de la méthode abrégée que nous venons d'indiquer, mais on serait obligé de chercher l’ombre de chaque point que l'on aura admis sur la circonférence de ces cercles.

§ 344. — Si le cercle A B( /g. 1 1 2}, qui porte ombre, était parallèle avec le plan de projection horizontale, et au contraire perpendiculaire au plan de projection verticale; alors, il sera de nouveau nécessaire de choisir sur la circonférence des points isolés (d’après les § 324 et 326), de les prejetler d’une projection dans l’autre , puis de rerhcrchcr successivement les points d'ombre a,e,e' — c.,., points qu’on reliera par une courbe qui, dans ce cas , sera une ellipse, suivant § 1 37.

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Si l’on envisage A I! comme étant la base supérieure d’un cylindre, on pourra alors voir à l’aide de cette ligure comment on détermine l’ombre portée de ce cylindre sur le plan de projection verticale et sur le plan de projection horizontale. Dans ce cas. il est essentiel de faire attention aux points Ë’ et F’, qui sont les points de (engeance des rayons lumineux parallèles avec l à la circonférence du cercle ; ils sont en effet les projections ;'i des lignes génératrices Filet FG de la limite de l’ombre portée ci et /’ q, et ils déterminent en même temps sur la surface cylindrique la limite d’ombre.

Le rapport qui existe entre la longueur de l’hypoténuse i q et le côté i /, explique pourquoi sur le plan de projection horizontale la largeur i h de l’ombre portée est égale au diamètre du cylindre, et pourquoi au contraire elle est plus grande que ce diamètre sur le [>lan de projection verticale.

Si ASB était une pointe de forme conique placée sur le cylindre , et s’il sagissait d’en déterminer l’oiubre portée sur m no p ; ou chercherait alors le point d’ombre s du sommet S, et de ce point s, on mènerait deux tangentes à l’ellipse.

§ 3 iü. Si enfin le cercle A B avait, par rapport au plan m n o / j, la position représentée dans la fig. 113, et si les rayons lumineux arrivaient dans la direction de I. /’ , f (comme étant ta projection de la diagonale d’un cul<e); on fera alors sur le plan horizontal de projection C C = AB; on projettera les points A, B, C, DctE la ligne du plan vertical sur le plan horizontal; dans ce but, on pourra faire usage du cercle A’ C B’ C’ , et l’on cherchera ensuite, successivement les points d’ombre a d\ c, e', b, c’, C, d " , d’après les indications des § 324 et 326. En reliant ces points par une courbe, on aura l’ombre du cercle, qui sera une ellipse tuuchanl la ligne A B au point C. (§ 137.)

Si pour trouver cette ellipse d’ombre , on se servait de la projection latérale A’ C‘ B’ C’ , et si là on menait les rayons lumineux parallèlement avec la (lèche f, alors on pourra trouver , comme on le voit dans cette figure , les mêmes points d’ombre, et même on pourra, pour le cas présent, accorder la préférence à ce mode de construction parce qu’il est plus aisé à/omprendre.

TROISIÈME r\RT!E.

Si l'onse représentait À B comme étant la base d'un cylindre H B, on construirait alors l'ellipse d’ombre projette par le cercle H I , et on relierait les points g et rf’ ainsi que f e t e' par des lignes droites. Ces droites ijd' et f e' sont les ombres des ligues G I) et F F. sur la surface cylindrique où elles déterminent la limite de l’ombre.

Il est évident que les ellipses pourront être, déterminées avec d’autant plus d'exactitude qu’on aura choisi un plus grand nombre de points sur A B et II I,

§ 346 - Il est aisé de comprendre, en examinant la fig. 114, comment on parvient à trouver l’ombre portée d’un prisme terminé par un sommet de forme pyramidale , lorsque le plan win «p, sur lequel cette ombre est projettée, est incliné vers la surface du plan de projection vertical. Si les rayons lumineux / et l’ avaient une direction autre que celle admise pour cette figure , la construction à la même , malgré que l’ombre du polygone A B reçoive une forme différente.

§ 3S0. a. — Pour trouver dans la (ig. 1 13 l’ombre portée, on s’est servi de la projection des rayons lumineux sur trois plans coordonnés. Nous ne sommes entré à ce sujet dans aucune explication , parce que , dans la direction des rayons lumineux admise, leurs projections/, i et/ - , attendu qu’elles sont les diagonales de cubes, forment avec la ligne de terre iiorizonlalc et vertiraledes angles de 45 degrés (§3t!)lig. 101).

Si ou choisissait, au contraire, pour le rayon lumineux I, une toute autre direction , et si on indiquait sur deux de ces plans coordonnés la direction / et V de ses projections , il faudrait nlorsque celle de sa projection /’ sur le troisième plan coordonné, si toutefois on se sert de ce plan , soit cherchée en premier lieu.

Ainsi, soit , par exemple , donné l = acell' = bc (fig. 1 1 4 «) comme étant les projections du rayon lumineux I. sur le plan vertical et sur le plan horizontal et l’on désire connaître la projection /' ou cgdu même rayon lumineux à la surface de la projection latérale; on mènera alors nb perpendiculairement à * y i on fera cf =?cc=db-, on élèvera en f sura-ÿ une perpendiculaire fg=ad et on mènera c g. L’exactitude dece procédé est facilement justifiée par une comparaison de cette ligure