TROISIÈME PARTIE

l’ombre portée P ,'g', que le cône avw projette sur ce plan. Mais si A q n'est pas la projection d'un plan, mais, au contraire, celle de L’ arête K Q du prisme H S, il sera alors atteint dans les points t et «, par l’ombre /Vg' , et si l'on mène les lignes y t et x il, alors, on obtiendra par des motifs faciles à expliquer, l'ombre portée qui est projetée par le cône sur la face latérale il K du prisme.

Les lignes \f et A <j, dans lesquelles se trouveront aussi les points p et g' , marqueront sur la surface du cône les limites de l’ombre , et elles seront aussi les ligues génératrices des limites d’ombre */", *.'p, «g , *' ty. Le rectangle Q S et le triangle I K S se trouvent dans l’ombre , et ZZ est la limite de l’ombre portée du prisme déterminée par K Q.

§ 357. — Problème. — Construire l'ombre portée d’un corps ay composé de deux cylindres (fig. 123), en admettant que cette ombre est projetée sur trois plans parallèles entre eux, et dont les lignes ta, rqe t Ai sont les projections sur le plan horizontal, et en admettant en outre que les rayons lumineux arrivent suivant la direction de la diagonale d’un cube.

Solution. — On peut abréger le travail en cherchant d’abord l’ombre portée entière qui se forme sur le plan M N O I*, dont la projection est indiquée sur le plan latéral par la ligne NO, et sur le plan horizontal par la ligne 1” 0' ; puisque par le procédé déjà indiqué et en ayant égard à NO, on obtiendra les ombres de l'ellipse d h et du cercle cac, qu’on reliera par des tangentes correspondantes b" g\ yw... On prolongera ensuite tous les rayons lumineux menés parallèlement avec V , jusqu’à ce qu'ils coupent la projection du plan situé le plus en arrière , projection qui est figurée par N 0. Si on voulait encore trouver la portion de l’ombre qui sera projetée sur le plan situé en Ai, laquelle portion sera semblable à celle déjà trouvée , si ce n’est qu’elle sera située plus bas , aux environs du uv ; il faudra alors faire la même construction. La portion de l'ombre portée sur le plan n'o' antérieur, dont ts est la projection, ombre qui n’est engendrée que par le cylindre placé horizontalement , est la môme que celle déjà trouvée sur le plan I” 0’ ; car les projections des plans lumineux qui sont tangents à ce cylindre aux points cet g, doivent se montrer

îits DESSIN GÉUJIÉÏ-mÿl'E.

dans les plans situés sur 1 * et r>/ sous forme Je Jeux lignes droites, qui ne présentent aucune interruption dans leur trajet , attendu que chacune de ces lignes est la projection d’un et même plan.

Il y a encore à remarquer que l’ombre portée en question aurait pu être trouvée par la projection horizontale à l'aide du rayon lumineux i , nous engageons l’élève à suivre cette manière de déterminer cette ombre, ce sera un exercice très utile.

§ 35 8. — Problème. — Trouver l’ombre portée que deux poteaux A et B (/?</. 134) reliés par un prisme à quatre faces u b <lc , projettent sur les plans C, D, K et F, disposés sous la forme des degrés d’un escalier , lorsqu’en outre l et V marquent 1a direction des rayons lumineux sur les plans de projection verticale et horizontale.

Solution. — Nous n’avons rien de particulier à ajouter à ce qui concerne l’ombre portée qui est projetée par les poteaux, ni l’ombre portée gA qui est projetée par un degré sur celui qui le suit, ni l’ombre gk qui c>t projetée par l’arête tf ou ah de la rampe sur chacun des degrés, attendu qu'elles sont facilesà déterminera l’aide des deux projections I et II.

Mais pour trouver l’ombre portée du prisme abdc, on choisira avant tout deux coupes transversales m , ni’ et n , te , et ou cherchera sur le plan D leurs points d’ombre , par là ou obtiendra , ainsi que cela se voit dans cette ligure , les deux parallélogrammes désigués par y et </. On obtiendra ainsi facilement l'ombre portée qui se produira sur le degré D , puisque les directions des lignes qui forment la limite de cette ombre ont été données par deux points situés en face l'un de l’autre des parallélogrammes. Comme les ombres qui se produisent sur C, E et F sont parallèles avec celles que l’on vient de trouver, il s’ensuit qu'il ne sera plus nécessaire que de trouver sur chacun de ces plans les points d’ombre d’une coupe transversale , ainsi qu'on l’a ait en a', o' et b', et de mener de ces points des lignes parallèles avec celles de la limite d’ombre déjà trouvée sur le degré I).

359. — Problème. — Trouver l'ombre portée qui se produit sur la face postérieure d’une niche rectangulaire A’ A I>D'

IHulsIK'.IK l'AETlK. 217

et ua d' d [Jiij. 1 25), si les rayous lumineux suivent la direction de / et /’.

Solution. — D'après ce i|iii a été dit au § 324 , on cherchera a qui est l’ombre du point A, on mènera « p parallèlement avec AA', et parallèlement avec AD, ainsi que cela résulte de ce qui a été dit à propos des tig. 103 et 104. Si, au contraire, AI) n’était pas parallèle avec x y, ou bien si a' d' n'était point parallèle avec ad, il sera alors nécessaire de chercher pour le moins encore, outre le |>oint* déjà trouvé, un autre point d’ombre de A D, pour |>ouvoir déterminer la limite d'omhre dont la direction n'est plus jsirallèlc avec A D.

S’il existait daus la partie supérieure de la niche une ouverture carrée B EFC , l/b' c' c, on cherchera alors l'ombre des points b , b' c' et c, et si ou relie ces points par les lignes droites, on obtiendra alors v<? qui sera, l’ombre de cette.

]iartie supérieure de la niche, daus le cas où on la considère comme étant une surface plane AD. Mais si on admet, qu’elle représente un corps ayant une épaisseur BE; alors l’ouverture supérieure EF projettera aussi une limite d'ombre ce’ f f, et par suite la limite d’ombre affectera la forme représentée dans cette tigure.

Ou voit aisément, à l'aide de cette figure, comment ou |>arvient à trouver l'ombre sur les degrés m, n,oetm', n',o', seulement il est encore nécessaire d'observer que a «'«devra apparaître sous forme de ligne doitc, parce qu'elle est la projection du plan lumineux langeant à A A'.

§360. — lorsque nous nous soinmesoccupésde la figOfi.nous avons fait voir comment la lumière et l'ombre se distribuaient sur la surface concave comme un demi-cylindre ouvert à son extrémité supérieure; en outre dans le § 303, nous avons admis que la direction des rayons lumineux qui éclairaient ce cylindre était telle, que leur projection formait sur le plan de projection horizontale un angle aigu avec xy , et que sur le plan de projection verticale ces rayons étaient parallèles avec cette ligne. S'il s’agissait maintenant d’indiquer quelle est l’ombre portée qui se produit ici, ou n'aura qu'à mener du point o' sur. xy une peqtcndiculaire , et jvar suite la ligne entière q r sera la limite de l'ombre |mrtèc qui est produite

DESSIN «tOMÉTUlytE.

par l'arête A D sur la surface concave du cylindre ; q sera l'ombre de A , cl r celle de D.

Mais si on admet que la projection des rayons lumineux est également inclinée vers x y sur le plan de projection verticale, et que ceux-ci arrivent par exemple dans la direction de alors le point A projettera son ombre non en q mais en o , car le plan lumineux supposé perpendiculaire sur Go' coupera la surface cylindrique le long de qr, et c'est dans cette ligne que devra se trouver le point d’ombre de A , et en particulier là où cette ligne sera coupée par la projection du même rayon lumineux sur le plan de projection verticale, c’est-à-dire en o. Si l’on mène après cela , au demi-cercle GI11 , une tangente parallèle à celle-ci touchera ce cercle en m’, et il ressort de là que la portion de la surface cylindrique dont l’arc G m est la projection , ne pourra être atteint par les rayons lumineux. Elle se trouvera plutôt située dans l'ombre , et sa limite supérieure Am engendrera entre m et o le contour de l’ombre portée. Pour trouver ensuite celle-ci , on choisira un point à volonté sur l’arc Gm’ , soit n’, on le projettera en n , et on cherchera son point d’ombre p. Si on trace la courbe m po , alors A rn porl) sera l’ombre cherchée , et elle sera composée tout à la fois de l’ombre A m V 1) et de l’ombre portée rnporX qui doivent toutes deux se confondre, de telle sorte cependant que l’ombre entière apparailra plus faible près de AD que près de or à cause de l'influence du reflet.

§ 361. — Problème. — Ou suppose une niche de forme demi-circulaire, recouverte par un plan horizontal dans lequel existe une ouverture de forme demi-circulaire BC et b c'c [fig. 1 20) ; trouver l'ombre portée que ce plan projette sur la surface cylindrique concave de la niche.

Solution. — On se représentera d'abord le plan en question comme n'ayant point d’ouverture, et on choisira sur la ligne AD, qui détermine le contour de l'ombre portée, plusieurs points B, E,C...;on les projetera surod en b,o et c, puis or. cherchera leurs points d’ombre^, e'’et 7. Si ensuite on relie ces points avec * et D à l'aide d'une ligne courbe , on obtiendra alors la limite de l’ombre portée du plan en question, de même aussi * k' sera l’ombre portée de ak.