TROISIÈME PARTIE

Si maintenant il s'agit de tenir compte de l'ouverture be' c du plan supérieur, on choisira alors de nouveau sur le demicercle be’ c des points à volonté, tels (jne f , g',e', h’ on les projetera sur BC en F, G,E, Il on cherchera leurs points d’ombre f, g, c,h.,.. sur la surface cylindrique et on les reliera avec fi et 7 par uue ligne courbe. On cherchera, de la même manière, la limite d’ombre ,*'/> 7 ’ produite par le demicercle B' C% et de celte manière l’ombre portée entière recevra le contour représenté dans celte figurç. On trouvera à l’aide des indications du paragraphe précédent la limite de l'ombre portée sur la surface cylindrique concave B' C.

§ 362. — Si les rayons lumineux ont dans les deux vues figurées une direction telle que . DAn = < daa, alors la courbe 0 fi y I) sera égale à l’arc a' fi' ■/' d. En effet, comme a A Ba 5 . a a b a, alors B a = ba'j or, comme cela a lieu pour tous les points correspondants, il en résultera que les 2 courtes ayant des abeises et des ordonnées égales, auront une même courbure, c’est-à-dire que a fi -, D = a' fi' y’, d. Dans ce cas, la construction sera très-facile à exécuter, puisqu'il ne s’agira que de décrire avec ED un arc de cercle assez grand pour qu'il vienne couper en *' la perpendiculaire élevée en * sur xy.

La ligne limite de l'ombre portée est, en effet, telle qu’elle se représente réellement sur la surface cylindrique concave, une portion d’ellipse, puisqu'elle est produite par la section du plan lumineux tangent à A D avec la surface cylindrique ; toutefois la projection de celle ellipse apparaît dans le cas dénommé connue une ligne circulaire.

§ 363. — Si la projection horizontale de la niche, au lieu de figurer un demi-cercle, était plus grand ou plus petit que celuici, ou si la ligne ad n'était pas parallèle avec xy, ou bien encore si l’ouverture qui existe dans la partie supérieure avait la forme d’un polygone ; eufin, si la projection de la niche formait une portion d’un polygone régulier ou irrégulier; on trouvera alors pour tous ces cas les limites de l'ombre portée en suivant le procédé indiqué au § 361 , seulement il sera nécessaire d'agir avec précaution cl surtout de tenir compte des points qui déterminent la forme du contour de l’ombre en vue de la courbure et surtout des angles qui en résultent.

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§ 304. — Il est évident qu'une direction autre des rayons lumineux modifier;* la forme de l’ombre; nous ajouterons que lorsqu’ils ont, par exemple, la direction indiquée dans la fig. 121, la limite de l'ombre portée, qui n'est produite alors que par l'aréte AI), apparaîtra sous forme d’une ligne courbe de A en D. Celte courbe formera dans sa projection un demicercle du moment que les rayons lumineux formeront avec le plan horizontal supérieur des angles de 45 degrés; mais elle se rapprochera ou s'éloignera davantage par son milieu de A D suivant que l’angle sera plus ou moins grand que 4a degrés. •

Si, au contraire, les rayons lumineux arrivent suivant la direction de la diagonale d’un cube, alors l’ombre de l’aréte A A’ reculera jusque dans la ligne du milieu de la surface cylindrique, cl l’art ie horizontale AD delà partie supérieure, à laquelle le plan lumineux est tangent, engendrera une coupe oblique par la surface cylindrique, qui aura en effet la forme d’une ellipse, mais qui apparaîtra dans sa projection sous la forme d’un quart de cercle décrit avec ED.

§ 30a. — Problème . — La surface concave d'une dcmi-spbère ABEB' est éclairée par les rayons lumineux qui ont la direction de let l'( 'g. 127) ; trouver le contour de l’ombre portée (I).

Solution. — Comme les rayons lumineux doivent être parallèles avec le plan de projection horizontale, il s'ensuit que l' et toutes les autres lignes qui les représentent formeront avec xy le même angle, qui indique la véritable inclinaison des rayons lumineux sur le plan de projection verticale. Soit un, par exemple, un de ces angles.

Si on mène donc a, a' parallèlement avec l' et si ou projette sur la ligne droite correspondante A ü E en *, le point a' dans lequel le demi-cercle noe est coupé [>ar ce rayon lumineux, alors * sera le point d'ombre de A. On trouvera de même que y et ■/ sont les points d'ombre de CetC'. En effet, de même que

(1) Le rajon lumineux L eut, tlans le cas présent, parallèle avec le plan tic projection horitoiualt . et forme avec le plan île projection verticale l’angle xi a.

TROISIEME r\HTIE.

le plan lumineux, passant par A E, coupc la demi-sphère suivant le demi-cercle aoc, de même les plans lumineux passant par F et CF’ couperont la demi-sphère dans les demi-cercles (•<••/' par suite csera le point, dans lequel le rayon lumineux, (pu est tangent à c touchera la surface cylindrique, et c’est aussi pour cela que y et y’, qui sont la projection de ce point, sera le point d’ombre de c cl c' . Comme l’ombre devra commencer en B et B’, puisque les rayons lumineux louchent en res points la circonférence de la sphère comme étant des tangentes, alors B yo-,' B sera le contour cherché de l’ombre porlée.

Il n’est pas difficile de prouver que les ]>oints b,c' et a', autrement dit les limites d’ombre, se trouvent sur ce plan dans une ligne droite. C’est aussi pourquoi la ligne courbe B*B' , dont a' b est la projection, doit être une ellipse, et comme le grand axe BB' est donné, on pourra facilement trouver la moitié du petit axe Oa. Enfin l’on pourra promptement tracer la limite d’ombre qu’on cherche à l’aide des indications du §104.

§ 366. — Si les rayons lumineux forment avec la ligne de terre xy un angle de 15 degrés, comme c’est le cas pour la ligne no, alors les points c, A, et c et Ions ceux qu’on voudra admettre, projelleront leur ombre sur la ligne BB'. De même les rayons lumineux menés de a et c couperont dans la ligne nb les demi-cercles qui leur appartiennent, et dans celte sup- (Kisition les lignes B B’ et ob formeront les limites d’ombre.

Si, d’aulre part, la ligne ail donne la direction des rayons lumineux sur un des plans, et si leur direction reste la même sur l’autre plan, c’esl-à-dire celle de /, on obtiendra alors la courbe B'-B comme limite d’ombre, soit en procédant d’après les indications du § 365 ou d’après celles du § 104.

§ 367. — Problème. — Dans la lig 128 , on a admis poulies rayons lumineux une direction telle que leur projection l et l' sur le plan vertical et sur le plan horizontal est inclinée vers la ligne de lerre x y ; trouver les ombres des différents points que l’on admet sur le bord de la demi-sphère creuse qui porte ombre.

Solution. — Soit A un des points choisis , dont ou veut déterminer l’ombre sur la surface de la sphère creuse du plan

vertical , A’ sera alors sa projection sur le plan horizontal. Si maintenant on mène A' a parallèlement avec l', et si on considère cette ligne comme étant la projection du plan lumineux passant par A A' cl A', il faudra, avant toute chose, trouver laligne d’intersection de ce plan avec la surface sphérique, parce que c'est sur cette ligne que doit se trouver le point où A portera son ombre. Pour le tracé de celte ligne d’intersection , on suivra les indications du § 145. A cet effet, on décrira avec O' A’ et O' E' des demi-circonférences (la dernière devra être tangente en 7 , à la ligne A' «), on les projettera sur le plan vertical en AD, A’D', EF et E'F',cton mènera une courbe passant par le* points A , c,b, a’, b', c et A', dans lesquels ces lignes droites sont coupées par les perpendiculaires élevées de A' , y, ? et «, et cette courbe sera alors la projection demandée de la ligne d’intersection ( que l’on trouvera avec d’autant plus d’exactitude , qu’on aura décrit de O’ entre G et E' un plus grand nombre de demi-circonférences concentriques). Si maintenant ou mène par A un rayon lumineux parallèle avec l, alors le point « , où i| coupe cette courbe, sera le point d'ombre de A. Si l’on voulait déterminer les ombres des points G, E, 0 et F ,on serait alors obligé de mener , sur le plan horizontal , les rayons lumineux G’H, E'IjO'M et F’ N, les envisager comme étant les projections de plans lumineux, puis employer le procédé qu’on vient de décrire, pour pouvoir trouver leur ligne d’intersection avec la surfaces phérique, et enfin déterminer surchaquc courbe ainsi obtenue, l’ombre du point correspondant, ainsi que cela a été démontré pour A et a. Si ensuite, on relie à l’aide d’une courbe D o A' , ces points avec les points A' et D qui sont les points de tangence des rayons lumineux parallèles à /, on obtiendra alors le contour de l’ombre portée projetée dans la demi-sphère creuse.

La construction entière peut se simplifier, si l’on fait attention que ces lignes d’intersection sont des ellipses (§ 145) dont on peut facilement trouver les grands et les petits axes.

§ 368. — La raison pour laquelle la construction n’a pas présenté de difficulté dans la lig. 127, c’est que l'inclinaison des rayons lumineux vers le plan vertical était simple, que d’un autre côté , l’angle xz a, était leur véritable angle d’inclinaison vers celui-ci, et qu'on avait eu qu’à projeter les points a' et c'