TROISIÈME PARTIE

dans lesquels les demi-cercles étaient coupés par les rayons lumieux a a' cc\ directement sur les projections de ces demicercles , c’est à dire sur les lignes droites A E , CF et C' F' , en », -, et /, Si , dans li ftg. 1 £8, où le rayon lumineux a une double inclinaison vers le plan , on pouvait marquer son vérirablc angle d’inclinaison, on pourrait alors indiquer ici, comme dans la lig.,.ces points d’ombre d’une manière bien plus commode. On se servira, en conséquence, du procédé indiqué pour la fig. (t 02 a), de telle sorte que dans la (ig. 1 28, on mènera yq parallèlement à / et y p parallèlement à 1’ ; on abaissera la perpendiculaire q p sur x ij, on élèvera en q sur y q une ligne verticale; on fera q t = rp cl on mènera s y; cette ligne se trouvera alors être la représentation du véritable rayon lumineux L, de telle manière que si on meut le triangle sq y autour de ' q y , jusqu’à ce qu’il soit placé à angle droit sur q y r, alors s y sera le rayon lumineux L,et q y sa projection /sur le plan vertical , enfin s yq scia l’angle suivant lequel le rayon lumineux frappera réellement le plan vertical.

Donc, pour trouver à l'aide de * y l'ombre d'un point quelconque, du point O , par exemple, sur la surface d'une sphère, on mènera UK. parallèlement à q y ou/; on décrira au-dessus de O K une demi-circonférence ; on mènera O v parallèlement à s y ou L , et on abaissera de v sur O K une perpendiculaire, et alors le point t où elle coupera la ligne O K sera le point d’ombre de O. Si d'autre part, on mène le diamètre A D’ parallèlement à q y , et A « parallèlement à s y , alors la perpendiculaire u a donnera le point» comme étant le point d’ombre de A. On pourra trouver de la même manière autant de points d’oinbre, quel’ou jugera nécessaires pour la détermination du contour.

L’exactitude de cette méthode paraîtra d'autant plus évidente, si l’on se représente les demi-cercles O u K et A u D’, comme étant rabattus en arrière et assez loin pour qu’ils soient perpendiculaires au plan et qu'ils viennent rencontrer la surface courbe de la sphère ; par là le point o viendra se placer derrière ( et u derrière » , de telle sorte que t\ et a donneront sur le plan vertical les projections de ces points.

§ 369. Problème. — Trouver l'ombre portée projetée par

!:>i DESSIN (rf.OMKTKIQUE.

une arrête de forme demi-circulaire A C 15 sur la surface courbe concave du pied d'ouehe (surface engendrée par une scotie) , lorsque les rayons lumineux arrivent dans une direction quelcouque l et /' , fig. 129.

Solution. — Sur le plan horizontal on décrira avec od — Fl) oa=CA, o</ = 1 G , etc. , des demi-cereles concentriques, puis on choisira sur A B un point à volonté;) et on cherchera son point d’ombre. A cet effet, on projettera P pris sur A B en p' sur le demi-cercle correspondant a cb ; par ?' on mènera la ligne «" parallèlement à l' et on déterminera les points d'intersection , P', v' et sur les lignes correspondantes du plan vertical. Si par ces points a, J), v, «, v, P , ainsi obtenus, on mène une courbe, celle-ci sera la projection de la ligne suivant laquelle le plan lumineux coupera audessus de a’ i' la surface courbe du pied d’ouchc ; et si enfin on mène ,5 « parallèlement à l . alors n sera le point d’ombre des. On trouvera do même m comme étant le point d’ombre de k, p comme étant celui de C, etc ; et si on relie tous res points par la courbe G q , on obtiendra alors la limite dé l’ombre portée cherchée, qui ira se perdre vers A B , dans l’ombre qui se produit sur la surface concave.

Il va sans dire que l’on trouvera avec, d’autant plus d’exactitude les lignes d’intersection , que l’on aura admis entre A B et DE, un plus grand nombre de lignes parallèles, et qu’on obtiendra, par là aussi , un nombre plus grand de demi-cercles sur le plan horizontal.

§ .570. — Problème. — Le cercle A D E B fig. 1 30 , représente la surface concave d’un cône droit (parexemple d’un entonnoir) et v c te sa projection horizontale; trouver son ombre portée sur le plan vertical.

Solution. — On trouvera cette ombre portée, en cherchant d’après les indications du § 341 , l’ombre v du centre C;en décrivant avec y* = C D un cercle, et en lui menant les tangentes C i cl CP.

Si l’on place les points p et J en B et I) , on devra alors considérer B C et D C comme étant les lignes génératrices de l’ombre portée et en même temps comme étant les projections des limites de l’ombre sur la surface convexe du cône , c’csti-dirc que la portion représentée par B ADGB de la partie

THOWM1E CAHTIK.

convexe sera dans la lumière , lundis que l'autre portion plus grande sc trouvera dans l’embre. C’ost aussi pourquoi lu ligne d’ombre « E' s produite par 11 ED est plus grande que le demicercle. Dans la projection horizontale , la limite de l’ombre que l’on aperçoit a été indiquée par c il.

§ 371. — Mais jiour trouver l’ombre portée qui se produit sur la surface concave du roue, ou remarquera que dans la distribution de la lumière qui a lieu ici, l’are 11 AD auquel les rayons lumineux sont tangents, est la ligue génératrico de cette ombre portée, et qu’il ne s'agit plus que de choisir sur cet arc des points quelconques et de déterminer leur ombre sur la surface concave du cône. Ainsi donc ou mènera le diamètre A E parallèlement à /, on projettera les points A et E en u et e , et on mènera u c et cc ; le triangle ucc sera alors la projection de AEC, par conséquent ec celle de EC. Si on mène ensuite af parallèlement avec V et si on projette le point f sur E C en F , F sera alors l'ombre île A. Si on relie ce point avec B et D, à l'aide d’une courbe , on aura alors obtenu le contour de l’ombre portée , si on veut se conlcnter d’une détermination superficielle. Mais si au contraire on voulait déterminer plus rigoureusement ce contour on serait alors obligé de choisir encore d’autres points sur l’arc 11 A D ; mais alors aussi la construction ne sera plus aussi simple que ce n’a ôté le cas pour le point A , dont l’ombre était tombée sur la ligne E C, dont la projection était la ligue droite c c ,§ Ht et 142) Si O, était un de ces points pris à volonté, alors on mènera G II parallèlement à / , et ou cherchera l’hyperbole correspondante jkk '[ d’après le § 140; pour son tracé on s'est servi ici des cercles C N et CM et des lignes droites correspondantes m p et nk): Enfin ou mènera g p parallèlement à i et on projettera le |*iinl p oii elle coupe lu portion k h de l'hyperbole , sur G II en P , el P sera aussi un point de la courbe qu'on veut déterminer.

On peut chercher , par le même procédé , autant de points d’ombre qu’on le juge nécessaire pour la détermination de cette limite d’ombre. Il est évident qu’ici l’ombre totaleAD P F B A se composera d'ombres et d’ombres portées.

§ 37 1 . («) — Avant d’alièr plus loin , nous ferons encore

remarquer que l’on peut aussi trouver la courbe d’ombre DP P 15 , fig. 1 30 , en suivant le procédé indiqué au § 368 , el en cherchant à l'aide de l et /’ l’angle réel que forme le rayon lumineux L avec le plan vertical. De même que dans la fig. 128, on a décrit sur A D et O K des demi-cercles; de même ici on construira sur A E un triangle et sur GH une hyperbole, et on en agira de même pour tous les points que l'on adaptera sur l’arc R A D.

§ 372. — En général, on trouvera bien vite la limite de la lumière et de l'ombre sur la superficie des corps qui ne sont circonscrits que par des plans, lorsque la direction des rayons lumineux aura été donnée. Car comme il est impossible que sur un même plan, il y ait à la fois de la lumière et de l'ombre, ils'cn suit que celte limite se trouvera toujours désignée par les arrêtes auxquelles les rayons lumineux sont tangents, et se trouvera représentée en partie par des lignes droites , en partie par des lignes brisées ; ainsi qu’on a pu le remarquer du reste dans les problèmes desquels nous nous sommes occupés jusqu'ici.

La limite de l'ombre apparaitra aussi sous forme de ligne droite sur la surfree courbe des corps dont les surfaces courbes sont produites par des génératrices droites, (§ 1 00 ) ; par exemple un cylindre, un cône, parce que les rayons lumineux sont aussi tangents à la surface suivant une ligne droite ; (Par exemple F G, fig II 2 ; c k, fig. 11 6 el 1 1 7 ; c d fig. 1 30.)

La limite de l’ombre sera , au contraire une .ligne courbe sur des corps dont la surface courbe est produite par le mouvement d’une génératrice courbe , et qui, en général, ne sont limités que par des surfaces courbes, tels qu’une sphère, un cylindre, des vases , etc; cette limite d’ombre sera quelquefois très-difficile à trouver, et pour l'obtenir il sera nécessaire de déterminer sur la surface courbe les points dans lesquels les rayons lumineux sont tangents n celte surface.

Nous allons voir, dans les paragraphes suivants, la manière de trouver ces lignes.

§ 373. — l-i première chose à faire, lorsqu'il s'agit de la distribution de la lumière et des ombres sur une sphère, c’est d’indiquer sur sa surface courbe le lieu où se trouvera la lumière la plus inumse et celui où se trouvera lalimile de l’ombre. Or, le lieu