TROISIEME PARTIE

où celte lumière sera la plus intense sera là où les rayons lumineux frapperont perpendiculairement la surface sphérique, et la limite d’ombre se trouvera, par contre, là où les rayons lumineux seront tangents à la surface sphérique. On conciliera de ceci , que pour faire une distribution convenable de la lumière cl des ombres sur une sphère , on devra déterminer l’un et l'autre de ces lieux, quelle que soit d’ailleurs la direction admise [tour les rayons lumineux.

§ 374. — Lorsqu’il a été question de la lig. 78 , nous avons dit que, dans une sphère , cette moitié de sa surface , qui était tournée du côté d'où arrivent les rayons lumineux , se trouvait éclairée, tandis que celle qui était opposée à ces rayons se trouvait dans l’ombre. Les rayons lumineux quisont tangents à la surface forment donc un cylindre lumineux droit dont la base est égale à l'un desgrands cercles de la sphère, et qui sera perpendiculaire à l'axe du cercle auquel les rayons lumineux sont tangents (cercle qui sera parallèle avec celui de la base du cylindre).

Il est donc évident que la limite d’ombre, qui se produit à la superficie d’une sphère éclairée par des rayons lumineux parallèles entre eux, sera, en tous les cas, un des grands cercles de cette sphère, et qu'elle dépendra entièrement de la direction des rayons lumineux. Comme maintenant la projection d'un cercle sur un plan sera où une. ligne droite, où une ellipse ou un cercle (§ 102, 103), il s’ensuit que la limite d’ombre de la sphère sera aussi, soit une ligne droite, soit une ellipse, soit un cercle, suivant que les rayons lumineux seront parallèles , inclinés ou perpendiculaires au plan. Il résulte donc de ee qui précède, que , dans la détermination de l’ombre sur la surface de la sphère , il ne s’agit que de trouver sur cette surface la projection du cercle , dans une position quelconque par rapport au plan , et à ce sujet , on trouvera dans les § 106 , 107 des indications suffisantes.

De même qu’on a admis que les rayons lumineux qui sont tangents à la superficie de la sphère déterminent le commencement de l’ombre, et forment la surface d’un cylindre droit, de même on doit se représenter ipie le lieu où la lumière sera la plus intense sur la surface sphérique, sera donné parle point où l’axe de ce cylindre rencontrera la surface

TMmt DU DESSIS GiOnéTSIQUI. 33

258 imSSIN CÉOMlÎTRIIJlIli.

sphérique, En effet |.u mi tous 1rs rayons lumineux qui frappent la demi-sphère , et qui par conséquent remplissent aussi tout l’espace intérieur du cylindre, celui qu’on peut se représenter comme étant l’axe d ce cylindre , sera en même temps celui qui passera par h centre de la sphère , et qui frappera perpendiculairement sa superficie , car il formera un angle droit avec toutes le tangentes que l’on pourra mener à la sphère au point d'inlerseelion. Ceci n’est plus le cas pour les autres rayons lumineux qui viennent frapper la surface sphérique autour de ce point et jusqu’il la limite d’ombre , et c’est aussi pour cela qu ■ la lumière qu’ils produisent sur celte surface, ne sera p s aussi intense que celle qui existera dans le lieu oii la s; Te est percée par l'axe de ce cylindre.

Il ressort enfin il ces considérations que le point qui indique sur la surface l’une sphère le lieu de la lumière la plus intense, se trouver râlement distant de la circonférence du grand cercle d 1 la sphère qui marquera la limite de l’ombre. Nous allons voir, d.ir , ce qui va suivre , si ce point se détermine de la même manière sur une surface polie.

§ 375. — L’ombre portée que projette une sphère sur un plan , n’apparaîtra sous forme de cercle, que dans le cas où , comme dans la lîg. 79, les rayons lumineux frappent perpendiculairement ce plan, et il apparaîtra sous forme d'ellipse , lorsque ceux-ci auront une toute autre direction, ellipse dont le petit axe est égal au diamètre de la sphère, et dont le grand axe dépendra de l’angle d’inclinaison des rayons lumineux. Mais dans tous les cas, le contour de celte ombre portée devra être considéré comme la ligne d'intersection du plan par ce cylindre lumineux.

§ 376. — Problème. — Trouver l’ombre d’une sphère , lorsque les rayons lumineux qui l'éclairent , arrivent dans la direction de la diagonale -d’un cube, et que leurs projections / el l forment par suite avec x y, tant sur le plan vertical que sur le plan horizontal , des angles de 45 degrés, (fit)' 131, III jusqu'à VU.)

Solution. — D’après les données du § 322 . on cherchera, ainsi qu’on le voit dans la fig. V, à connaître, à l’aide des projeclions/et I' l'angle d’inclinaison «que le rayon lumineux

fRUhtlBMK PARTIK.

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L forme réellement le plan horizontal. Après quoi on tracera, conwic dans la lig. I et II. le plan vertical et horizontal d'une sphère, égale à la sphère donnée, et on fera sur elle une distrihulionde lumière indiquée pa Lut L'(de telle sorte que le rayon lumineux L forme sur le plan vertical , l’angle * avec lu ligne de terre, et (pie sur le plan horizontal, la projection Je ce rayon lumineux , c'est à-dire L' , soit parallèle, ail contraire , avec x-jl). Pour cela on mènera par le centre C ( fig. I ) la ligne Py parallèlement à L, et A H perpendiculairement sur P y ; P sera ulors, d’après le § 117 i , le point de la lumière la plus intense, et le diamètre A B sera la limite de l'ombre sur la sphère |>aive que la surface sphérique est touchée par le cylindre lumineux le long de la circonférence du grand cercle figuré par AB. Si donc l’on projette, d’après les indications du § 10(17, le cercle A B dans la fig. Il, alors sa projection, ou l'ellipse A'C' B’ C, sera la limite de l’umhre, et le point P' sera le lieu de la lumière la plus intense.

Pour obtenir ensuite dans la fig. IV la limite d’ombre cherchée. ou donnera à la sphère fig. II une position telle au-dessous de la ligne de terre , que le plus petit axe A' B’ soit parallèle à comme cela a eu lieu dans la fig. III, de telle manière toutefois que les deux centres O et O’ se trouvent sur une même ligne perpendiculaire à xij , puis on construira dans la lig. JV , d’après le § 107 et 100 , l’ellipse ilfrij dont de sera le grand axe, et fij le petit. Enfin, la dcini-ellipsc dge marquera ici la limite de l'ombre. P sera le point de la lumière la plus intense qui se trouvera là où l’ellipse iqkr , dont la projection est le diamètre Q' R’ [fig. III ), sera coupée par le rayon lumineux»/.

§377. — L’exactitude du procédé indiqué dansle paragraphe précédent devient évidente, si l’on veut bien se rappeler que le cercle A B [fig. 131, I ; . ainsi que l’ellipse A'C'B'C* [fig- H etlH), et l’ellipse d feg {fig. IV) marquent les lignes suivant lesquelles le cylindre formé par les rayons lumineux (pii enveloppent la sphère , touche sa surface, ce qui résulte nonseulement de la position de la sphère par rapport à la direction des rayons lumineux qui l’atteignent, mais encore de sou mouvement , avec sou système de rayons lumineux ,

260 DESSIN CÉOMKTRUJUK.

autour de 1K (fig. 1}, de telle façon quelle atteigne la position représentée dans la fig. IV, c’est-à-dire jusqu'à ce que Q’ R* (/ g . Ml) soit parallèle avec /', et que les projections des rayons lumineux dans la lig. IV aient atteint la direction parallèle avec V qu’ils avaient primitivement. Il faut que dans le plan lumineux , élevé verticalement sur q' R ( fig. III ), et dont le contour appareil dans la fig. IV sous la forme d’une ellipse iqkr, lu lieu de la lumière la plus intense soit sur la surface de la sphère là où l’ellipse est coupée par le rayon lumineux si, passant par le centre O, p sera ce point, et comme la ligne si a en même temps une position perpendiculaire au grand axe de de l’ellipse dfeq, il s'ensuit que ce point sera à égale distance de chaque point de cette ellipse, autrement dit du contour du grand cercle de la sphère déterminé par les rayons (§ 374 ).

§ 378. — Si pour trouver la limite d’ombre des sphères on voulait déterminer des points distincts, soit, par exemple, les points M et N [fig. 131, 1), on se servira alors du procédé indiqué dans le § 131 , I, à l’aide duquel on obtiendra dans la fig. H les points u, »', v et v' . On pourrait aussi trouver ces points en menant dans la fig. I par M et N des lignes parallèles p3 avec xt/, en les considérant comme des coupes horizontales de la sphère, enfin en traçant leurs projections (qui sont des cercles) dans la fig. Il, et en les coupant par des perpendiculaires menées de MetN,qui donneront ainsi les mêmes points», u 1 , »,»'(!); enfin en suivant les indications du § 107 et 108, on trouvera, par ces points de la fig. I et 111 les points », u’, vet v' de la fig. IV.

(1)11 ressort de la comparaison de ces deux méthodes de procéder, qu'en se servent du § 100, par exemple, la ligne us' [fig. fl) sera le double de M U, c'est-à-dire égale à une dex cordes du cercle AQBIl placée verticalement sur la ligne Alt au point M, de même que, dans la lig. 30, di était le douhlc de 1)0' ; que, d’autre part, cette même ligne vu' sera en même temps la corde d'un cercle placée horizontalement sur M Ifig. I). Il est donc bon de démontrer la vérité de celte assertion.

Si l'on chosit sur le diamètre AB d'un cercle AOBF [fig. 131, VIII) un point quelconque G, et si l’on élève G I) perpendiculairement sur A B; si.

TROISlèMK PARTIE.

2flt

§ 379. — On pourrait également obtenir immédiatement la solution du problème du § 370 , à l'aide des fig III et IV, sans avoir recours aux projections auxiliaires I, Il et V. Pour cela on mènerait dans la fig. III , outre le diamètre 0’ R', encore plusieurs cordes to w' parallèles à on construirait pour chacune des cordes, ainsi que cela a eu lieu pour Q' R' dans la fig IV, l’ellipse correspondante d’après les indications du § I f 5, et on mènerait à chacune de ces ellipses deux tangentes parallèles à l (comme cela a eu lieu dans la fig. IV pour l'ellipse appartenant à Q'R'/ig. III), et par là on obtiendra les pointsn et b. Si l'on réunissait par une courbe tous les points de contact ainsi obtenus, on reproduirait de nouveau l’ellipse dfeg.

Si l’on envisage ces cordes ww' comme étant les projections du plan lumineux, alors leurs intersections avec la surface de la sphère , seront des cercles qui apparaitront dans la fig. IV sous forme d’ellipses, et on obtiendra dans cette figure autant d’ellipses qu’on aura tracé de cordes dans la fig. III. Mais on peut se représenter que les rayons lumineux qui éclairent la sphère fig. IV se trouvent placés dans ces plans lumineux , c'est aussi pourquoi il faudra que les rayons lumineux

d’autre part, on fait passer par O une corde K F dans une direction quelconque ; si on décrit sur elle un demi-cercle, et si on élève G H verticalement sur K F, alors DG sera chaque fois égal à G 11.

Si l’on pose EG = a, G F = 6, A C = e, BG = rf, DG = je, et G II = y, alors:

a: c — d. b par suite ab = cd

mais c : x est aussi égal à x : d et a : y — y : b

donc x’ = cd et y ’ = a b

c'est pourquoi *• = y* ou x = y

conséquemment DG = CH.

U résulte de U, que la corde uu' {fig. IV) {reut aussi bien être égale au double de DG que de GH {fig. VIH).

DESSIN (,l ihMKTKHIIlK.

qui sont tangents à la surface de la sphère, y soient contenus. Or . comme celte (engence doit avoir lieu pour chaque ellipse ou. en d'autres termes, doit se faire auv lignes d'intersection produites par les plans luiruneuv. et en particulier là où sur le plan vertical lig. IV, leur projection vient à être rencontrée par les projections des rayons lumineux; il eu résultera que tous ees points de contacts reliés ensemble détermineront la ligne suivant laquelle la surface sphérique est touchée par les rayons lumineux qui éclairent celte surface. Les rayons lumineux ou le cylindre lumineux qui enveloppe la surface de la sphère et qui lui est langent suivant cette ligne, cl ils produiront en ce lieu la limite d'ombre cherchée.

•Gc procédé peut être envisagé comme étant une méthode générale pour Uvuver sur tout corps à surface courbe la limite île l'ambre, lorsque les projections de ce eor|>s sont donnés sur le plan horizontal e! sur le plan vertical, ou au moins deux de sus projections. (Voyez § 390, fy. 133 et § 450. fig. 143.)

Quelque simple que paraisse cire, d'après la description que nous venons d'en faire, le procédé ri-dessus, néanmoins le mode de construction indiqué au § 370 est bien [dus commode lorsqu'il s’agit des sphères; car la construction d’un grand nombre d’ellipses rend le travail plus difficile et nuit à la clarté du dessin, il faut bien se persuader qu'un dessin n'y gagnera nullement eu bonté par ces nombreuses lignes, surtout si la sphère devait ensuite être teintée.

Or. voit aussi par la fig. 131 In manière d’éclairer dans un dessin une sphère lorsque les rayons lumineux ont la direction indiquée dans la fig. I cl IL

§ 380. — Problème. — Trouver l’ombre ]>ortéc que projette la sphère fig. 131, II sur le plan horizontal, lorsque la projection des rayons lumineux est indiquée par la direction L et L’.

Solution. — Il esl aisé de comprendre que le contour de l'ombre portée dans la fig. Il esl formé par la ligue d’intersection du cylindre lumineux A*.* IS (fig . 1) avec le plan de projection représente par xy. Mais comme celle ligne d’intersection doit être , d’après le § 1 37 , une ellipse dont le grand axe est indique par a P’ , et dont le jielil axe y* y' doit toujours èlre

TitoiMi'w: pautie.

égal au diamètre C' C' de la sphère; alors le contour à chercher pourra facilement être représenté d’après les indications du § 104 , 3* solution.

Si l'on voulait trouver des points particuliers de l’ellipse il' •/ y y* , il faudra alors se représenter le cercle A B (fig. I ) ou l'ellipse A'C'B’C' (fig. Il «pii est le contour de l'ombre portée comme étant la .limite de l'ombre. Ou choisira pour cela sur AB des point à volonté, par exemple M et N , ou lus projettera sur l’ellispsc en u , v et et on cherchera ensuite les points d'ouibrc ni’, m ", u’ et en même temps «|ue l’on mènera l<-s lignes M met N u parallèlement à L. «prou abaissera en ni et n aiir.i i/ des perpendiculaires* cl que l'on coupera celle-i en u, u', v et V par des parallèles avec L’.

§381. — Si ou devait tracer dans la tig. 131 , III l'ombre portée, celui-ci sera alors semblable à celle déjà trouvée pour la. lig. Il . toutefois le grand axe se trouvera dans la direction de la ligne Q- Ft' ou de /'.

Mais pour trouver l’ombre portée que la sphère (fig. IV) projette sur le plan vertical (sur lequel elle doit se trouver), on dessinera la sphère (fig. 111), de telle sorte qu’elle soit rencontrée par lu ligne de terre xy, et pareonlreon élèvera la sphère <J!g. IV) plus au-dessusde xij, on supposent que la limite de l’ombre dfege&l la ligne qui engendre l’ombre portée. Aprèsquoi on projellcrales poinls/'etj(/ïp. 14*) dans les points/’ et g' de l'ellipse A’ C’ B’C’ (fig. III), on mènera des points I), E, /’ et </’ des parallèles avec 1 ‘ , on élèvera aux points où clics couperont xy des perpendiculaires, et on coupera celles-ci à partir de d, c , fet g avec des lignes menées parallèlement à /; en sorte que les points déterminés par d et c donneront le petit axe, et ceux déterminés par /‘et ij le grand axe de l’ellipse qui sera la forme sous laquelle apparailra ici l’oinhrc portée.

Le grand axe se trouvera dans la direction de la ligne si , et le petit axe sera parallèle et égalàdc. (Compare/, celte ombre portée avec FC' TC* qui est celle de la lig. VI, ombre dont nous allons indiquer le mode de détermination dans le paragraphe. suivant).

S'il s’agit de trouver des points particuliers de hi limite de l’ombre portée, dans ce cas, on déterminera sur deux limites

DESSIN GÉOMÉTIUgUE.

elliptiques de l'ombre des points correspondants , et on cherchera leurs points d’ombre en sui\anL le procédé que nous venons de décrire.

§ 382. — Cependant on peut encore déterminer d’une autre manière, même plus commode, l'ombre portée de la sphère (to- iv) sur le plan vertical.

Soit la sphère figurée dans la fig. .131 , VI, identique avec celle représentée dans la fig. IV, et soit ST la projection d'un rayon lumineux parallèle avec /, correspondant à si (fig. IV). ou se représentera au-dessusde ST un plan lumineux perpendiculaire et passant par le centre de la sphère , plan dans lequel doit se trouver le rayon lumineux, dont ST est la projection , et on cherchera après cela le véritable angle de ce rayon lumineux avec le plan vertical. A cet effet , on mènera dans la fig. VII, ys parallèlement avec Z',c t yq parallèlement avec l' , ou abaissera sq perpendiculairement sur a - g, on élèvera en s sur sy une perpendiculaire ss' —qx' , et on mènera s'y", de cette manière sys' ou ? sera l'angle d'inclinaison cherché. Ceci paraîtra d’autant plus évident, si on se représente les triangles s y s’ et qys’ rabattus de manière à devenir perpendiculaires sur letriangle sys', d'où il ne résulte de suite, que / et I' sont dans les deux plans les projections du rayon lumineux L’. Si après cela on mène dans la fig. VI, XY parallèlement à ST , si on prolonge de et si on décrit avec ce = Oe un cercle touchant la ligne xy en[e,on obtiendra alors la précédente section placée au-dessus de ST comme étant de même rabattue sur le plan vertical. Si enfin on projette les points f et g en f et g' , et si on mène par f , c et g' des parallèles à s' g (parmi lesquelles celles qui passent par /' cl g' seront des tangentes au cercle), jusqu’à ce qu'elles coupent X Y en F’, c’ et T’ , alors on pourra , comme cela ressort clairement de la fig. VI , facilement figurer par le procédé connu, l'ellipse Fc’ Te, qui sera l’ombre portée projetée par la sphère.

L’exactitude du procédé paraîtra d'autant plus évidente, si on se représente la section en question , de nouveau relevée sur X Y et replacée au-dessus de ST, dans sa position primitive, où STapparaitra comme étant la projection du rayon lumineux S’T'donl la véritable inclinaison sur le (dan vertical est l'angle ?.