TROISIÈME PARTIE. 2('i

Pour trouver des points particuliers de l'ellipse, il ne s’agit que d'adopter sur l'ellipse dfeg et sur la ligne droite /' <j‘ des points correspondants pris à volonté . tels, par exemple , que I’ , h et in, et de déterminer leurs omlires lî et IV de la même manière qu’on a déterminé les points F, c', T et e\

Sj .tx.'t. — Le procédé indiqué dans le paragraphe précédent procure enfin encore lin autre moyeu très commode pour trouver les limites de l' ombre que projette mie sphère.

Après qu’on aura trouvé dans la fig. 131, VII , l’angle réel ? du rayon lumineux L ligure ici par /’, on cherchera aussi l'angle > que le rayon lumineux L forme avec le plan horizontal. Dans ce Imton mènera ;</ perpendiculairement h yq. on fera 2 q = ss’ et on mènera zy; mais alors qyr . ou J sera aussi l'angle que le rayon lumineux I. forme avec le plan horizontal, rayon figuré ici pari.”' (en admettant que le triangle zijq se meut autour de qy jusqu’à ce qu’il devienne perpendiculaire à. v'i/q. Ceci fait , on mènera au cercle {J y' Ro tjig. VI} la tangente S' T’ |iarallèlement à I.'. du point de contact y' on abaissera une perpendiculaire sur X Y . qu’on prolongera jusqu'à ce qu'elle coupe en y la ligne ST, puis on tracera par d , y et c une ellipse, et on aura ainsi trouvé la limite de l'omlire demandée. Il est évident que le point y pourra être obtenu d’une manière encore plus facile si on mène de suite à la sphère la tangente S' T' parallèlement à L", et si on projette en y le point de contact, ainsi qu'on vient de le faire voir.

On trouvera de la môme manière, dans la tig. IV, le («oint y. Mais pour obtenir de suite dans la fig. III le point H’, il n'est nécessaire que de mener à la sphère une tangente qui soit parallèle à L”, et d’ahaisserdu point de contact une perpendiculaire sur (j 11', qui coupera celle ligne en B . Après quoi ou tracera par C B C”, la demi-ellipse qui sera la limite de l'ombre.

§ 383 (fl). — On a considéré dans la fig. 131 , ta fig. I comme étant la projection verticale, et la fig. Il comme étant la projection horizontale. Mais ou pourrait aussi substituer une de ces projections à l'autre, et alors la fig. Il sera l'image d'une sphère placée avec son point de lumière la plus intense. et son ombre portée immédiatement contre un plan mxiTtt i« iiessis r.i'oio migre. 3t

206 DESSIN' GÊOUltTlUQl'E.

vertical , pour la détermination desquels on se servira alors de la lig. I que l'on peut envisager comme étant un plan de projection horizontale et qui, à cause de la commodité de la représentation, |x>urra être dessinée au-dessous de la tig. II.

§ 384. — Si les sphères (fiy. Il et VI.) ne se trouvaient pas immédiatement placées contre les plans sur lesquels elles projetlent leur ombre portée, mais, au contraire, plus ou moins distantes de- ceux-ci , cela n'influera ni sur la détermination du lieu de la lumière la plus intense, ni sur la limite de l’ombre , ou sur la forme de l'ombre portée , quoique cette dernière change de plan, puisqu'elle s’éloignera d’autant plus de la sphère dans la direction de L ou / , que cette sphère sera plus éloignée du plan ; il est bien entendu qu'on admet que les rayons lumineux conservent sur le plan horizontal et sur le plan vertical la direction admise dans la lig. 131.

§ 383. — Comme pour la détermination de l’ombre portée d’une sphère il ne s'agit en réalité, (pie de figurer l'ombre d'un cercle (puisque la limite de l'ombre qui produit cette ombre portée est toujours un cercle, quand même, eu égard à sa (Hisition par rapport' aux rayons lumineux , elle apparaîtrait dans la projection, sous forme d’une ligne droite ou d'une ellipse); on devra doue suivre les règles déjà indiquées, lorsqu’il s’agira de déterminer l'ombre portée d'une sphère sur un plan incliné ou sur une surface courbe. En effet , dans tous les exemples de ce genre précédemment admis, il ne s'agissait quelle trouver l'ombre de points lorsque leur position vers les plans co-ordonnés, ainsi que la direction des rayons lumineux' était donnée, sans s’inquiéter de savoir si ces points appartiennent à un cercle, ou à une ellipse, ou à une ligne droite. Si, par exemple, dans la lig. 121, l'hexagone ABCDEF était un cercle ou une ellipse, on déterminerait alors les points d’ombre a,h,c,d.e et /, de la même manière que cela a été indiqué, seulement ilaus ce cas ils ne sulliraient pas pour atteindre le but, et on devra chercher encore d’autres points à l'aide du même procédé puis les relier par une courbe qui ne sera pas dans ce cas une ellipse, ce qui est facile à comprendre.

TROISIÈME r.\RTIE.

§ 386. — On pourra déterminer de la même manière l'ombre et l'ombre portée d’une demi-sphère nu de toute autre portion de sphère, car tout ee qui a été dit jusqu’ici leur sera applicable. Mais pour l'étude , il sera bon de chercher les ombres portées que les demi-cercles représentés dans la fig. 1 27 et I 28 projettent sur le plan vertical. Elles apparaîtront sous la forme d’un cercle et d'une ellipse, ainsi qu’on peut aussi le voir dans la lig. 131. Il et VI. Eu effet, si dans la fig. Il . ou doit représenter l'ombre portée de la demi sphère QRK (fig. I ) , elle se montrera sous la forme d'un cercle </ j r / et sous relie de la demi-ellipse •/ «' ■/, et si Ton devait représenter dans la lig. VI l'ombre portée de la demi-sphère Qlî e , elle apparaîtra alors sous la forme d’un cercle qe'rc’ et sous celle de la demi-ellipse c' F r".

§ 387. — Finalement, tout ce qu'il y aurait encore à ajouter sur la manière de représenter avec exactitude une distribution d’ombres et de lumière sur une sphère (lorsque le lieu de la lumière la pins intense et la limite de l’ombre sont déjà trouvés) trouvera sa place dans la suite de cet ouvrage lorsque nous ferons connaître les règlesqu'il faut suivre pour le lavis des dessins ( l'oi/r; § 470).

Nous ferons encore remarquer (pie les constructions indiquées pour la fig. 131 restent en général les mêmes, quand même les rayons lumineux arriveraient sous un angle différent. Nous recommandons à celui qui apprend le dessin des. exercices, de ce genre, attendu (pie la direction du rayon lumineux admise ici n’est pas celle qui est choisie pour tous les cas, et qu’en second lieu, en admettant pour ce rayon lumineux des directions différentes, il peut en résulter matière à des considérations instructives et très intéressantes.

§388. — PrMvme. Indiquer l’ombre portée projetée par un cylindre ADER sur un sphère FOUI {fig. 132), lorsque les rayons lumineux arrivent dans une direction quelleconque f et I.

Solution. — On mènera sur le plan horizontal les tangentes K' * et M'ÿ parallèlement à /’ et on projettera les points K’, et M’ sur la ligne correiqiondanle Alt du plan vertical en k et M. Après cela on se représentera les plans perpendiculaires

2 fl S DESSIN r.ËOMÊTKIQLE.

élevés sur K' v et de M' q, qui formeront, en coupant la sphère FGHi des elli|>ses, dont on ne peut voir ici que les moitiés tri et pnp, on les coupera en /. et m* |«r des parallèles menées avec l, et ou aura ainsi sur la surface de la sphère, les points d'ombre de K et M. On trouvera, en suivant le même procédé, les points d'ombre a, c, m, b , c' et k' qui. reliés ensemble par une courbe déterminent sur la surface sphérique l'ombre portée du cercle Alt. Les lignes K u' et M t" (dont les points R' et M' sont les projections! sont les cèles du cylindre auxquels sont tangents les rayons lumineux qui se trouvent dans les plans lumineux K' s et M q’, et qui déterminent sur la sphère les lignes d'omhre krt et in'np, de telle sorte que k ru et m‘ nv marquent les limites de l’ombre portée du cylindre jusqu’au point où il se confond avec la limite de l'ombre figurée par a /p.

Si l'on projette les points k, c, m... du plan vertical sur le plan horizontal dans les lignes correspondantes r’ *, n'q. etc., qui sont là les projections des plans lumineux, c'est-à-dire eu k' , c' , in' .... et si on relie ces points par une courbe; on obtiendra alors le contour de l'ombre portée que le cercle A'C B' C projette sur la partie supérieure de la surface sphérique. Les lignes droites K' k' et M’m" forment avec k' m'in sur le plan horizontal et sur la sphère dans le plan horizontal les limites de l’ombre portée (I).

§ 389. Si le cercle Al) (fiij. 132;, an lieu d’avoir sur les plans horizontal et vertical une position telle qu’il apparait sur le premier sous forme de cercle, et sur le second sous forme de ligne droite, avait par rapport à ces deux plans une inclinaison double ifîij. 30, § 167), on trouverait alors ces points d'omhre à l’aide de la construction indiquée au paragraphe précédent. Mais alors on pourrait aussi envisager ce cercle qui

(I) La courir* k' m' et k' m’ ou bien le* ombres du cercle A B ef.VB sur la surface de la sphère, marquent la ligne d'intersection qui résulte de l'intersection d'une sphère par uq cylindre oblique dont A R serait la base. Par le procédé indiqué ici, ou voit encore comment on trouve de semblable» ligne* d’intersection (loyer S 1RI).

sc montre sous forme d'ellipse, comme étant la limite de l'ombre d'une sphère quelconque {jvj. 131 III et IV.), et par là trouver la limite de l'ombre portée que projette une sphère sur une autre sphère.

Mais de même que par le procédé indiqué dans le paragraphe 388. lig. 132, l’ombre d'un cylindre sur une sphère nous a conduit à trouver l’ombre d'une sphère sur une sphère; de même, on pourra troqxer, par le même procédé, la construction nécessaire pour déterminer l'ombre portée que projette un corps quelconque sur la surface de la sphère. Car si sur ce corps, ou cannait les ligues dans lesquelles sa surface se trouve atteinte par les rayons lumineux, c'est-à dire lorsqu’on a trouvé sur lui les limites de l’ombre , on pourra alors aussi choisir dans ces deux projections des points correspondants sur ces lignes limites, et déterminer, à l'aide du procédé en question, les ombres de ces points sur la surface de la sphère , et de cette manière figurer chaque ombre portée.

§ 390. — VroMime. — Un cylindre de forme annulaire (le tore) AB et À'C : B' ( fig. 133'. est éclairé par les rayons lumineux parallèles avec / et V ; on se propose de trouver, sur la surface eourlie de ce cylindre, la limite de l'ombre.

Solution . — Il s’agit de nouveau de déterminer, sur la surface cçurhciric ce corps, h-s points de tangence des rayons lumineux , c.’esl-à-dire , de trouver la ligne suivant laquelle le cylindre lumineux qui enveloppe le corps . touche sa superficie. Si l’on se rappelle ce qui a été dit au § 379, à propos de la détermination de la limite d'ombre d’une sphère, il sera alors facile, en connaissant bien la construction employée pour la lig. 133. de figurer la limite d'ombre cherchée pqr. Carde même qu’on a pu former sur le plan horizontal, à l’aide du rayon lumineux T ;/’, la courbe mkh n'm’ du plan vertical et qu’on a obtenu le point À - ’ qui est le point de tangeancc du rayon T G à cette courbe dans sa projection sur le plan vertical , de même aussi on pourra trouver les autres points de contact. Le lieu de la lumière intense se trouvera là où la surface courbe sera frappée verticalement par les rayons lumineux , comme cela a été figuré par le point p dans la lig. 131. IV.

En général . li faut encore remarquer premièrement . que les (toints p et r. fig. 133. sont trouvés en menant au* demicercles DAD' et EBE' des • tangentes parallèles à I (I): Secondement, que le point q est la projection du point q' , suivant lequel le demi-cercle A' C’ B est touché par la tangente. Troisièmement, que les lignes courbes d'intersection sur le plan vertical dont les projections sur le plan horizontal sont les rayons lumineux (tassant par r' et «' .sont touchées en deux points par les rayons lumineux et déterminent par suite chaque fois sur le plan vertical deux imintsdc la limite d'ombre. Quatrièmement, que I on trouvera d'autant plus exactement les lignes d’intersection, comme mlivi, par exemple, que l'on mènera sur le plan vertical un plus grand nombre de parallèles à AB, dont les projections seront sur le plan horizontal des demi-cercles concentriques (comme c'est le cas pour ah et a' c'h'). Cinquièmement, que si on se représente un plan horizontal passant par A B, et si l'on suppose que la moitié supérieure A FBsoil enlevée et que la moitié inférieure AoB forme un bourrelet , on voit que l'on aura aussi déterminé par suite la limite de l'ombre du bourrelet par la courbe pcq ( I oi/cs § iô9 ). Sixièmement, entin. que pour trouver l'ombre portée. projetée sur le plan verticaldans la projection verticale et sur le plan horizontal dans la projection horizontale , ou est obligé aussi d'indiquer la limite de l’ombre sur ce dernier plan, et par conséquent suivre la voie connue. Le contour de l’ombre portée cherché est comme on le sait, la ligne d'intersection du cylindre lumineux indiqué plus haut .avec le plan horizontal ou vertical, ou aussi avec tout autre plan qui est disposé de manière à recevoir l'ombre.

Mais connue nousnllonsdonner, dans le paragraphe suivant, une solution (dus simple et plus commode de ce problème , nous ne donnerons pas d'autres développements ici.

(I) On pourrait, à In rigueur; trouver p cl r en menant nr le } ' f =1 < 1 Imrisonlal, par A‘ et H', la projection iln layon lumineux parallèlement à et en cherchant sur le [.tau vertical ta ligne tTintcisectinn correspondante. La dillérence qui en résultera sera à peine appréciable.