TROISIÈME PARTIE

§391 . — Ponr comprendre la génération d'une surlace ©ylindrique courbe de forme annulaire , on peut admettre que le cercle AD (/!g. 134 I.), se meut autour du point C aveoJe rayon CF et décrit avec le point F un cercle. Maison peut aussi admettre qu'une sphère dont A D serait le diamètre ait parcouru ce chemin, de telle sorte que son centre F décrive - ce cercle avec le rayon CF. Alors un des grands cercles de cette sphère sera constamment touché dans les positions K' , K’, K', K'... (/g. II.) de celle-ci , par la surface courbe de l'anneau, et la lumière de l’élément de contact de la surface annulaire coïncidera avec la lumière de la surface sphérique sur ce grand cercle. Si , d’après cela, on donne à la splière (suivant ee qui se voit dans la fitj. 131 ) la distribution de lumière et d’ombre qui lui appartient d’après la direction des rayons lumineux / et et si on se représente cette splière dans son mouvement comme arrivant successivement en K’ , K" . K’‘’, K' .... alors la limite de son ombre coupera chaque fois le cercle de contact de la surface annulaire en deux points, comme c’est par exemple le cas pour K oii le cercle de contact ad est coupe en k et;; par l’ellipse qui marque l’ombre de la sphère. Ces puiuts appartiennent donc non seulement à la surface sphérique, mais en même temps aussi à l’élément de contact ad de la surface annulaire . et, par ce motif encore . ils appartiennent à la limite de l’ombre sur la surface annulaire. Ce que l’on a avancé ici, relativement aux points A’ et g, peut naturellement s’appliquer aux points p et </’ de la sphère K’", comme aussi à toutes les autres positions de la sphère. C’est pour cela aussi qu’il n’est pas nécessaire de dessiner la sphère mobile dans ses différentes positions et de déterminer les limites de son ombre pour obtenir par lil différents points de là limite d’ombre de la surface annulaire. On atteindra beaucoup mieux le but à l’aide d'imc feule sphère , que l’on placera comme cela s'est fait pour K, de telle sorte, que son centre o soit en même temps le centre de l'anneau dans le plan horizontal, et dans cette supposition, on emploiera, le |irocédé suivant pour déterminer la limite de l'ombre sur la surface annulaire.

Par le centre o on mènera autant de diamètres ah, rr ' ,

DESSIN C.ËOMItTRIQl K.

ni n , etc. , qu'on le jugera nécessaire pour la ilélenniualion exacte de l’ombre à la surface annulaire , on cunslruira d'après la lig. 131 l'ellipse qui marque sur la sphère K la limite de l'ombre; on prendra ensuite avec le compas la distance oh~og, et on In portera sur le même diamètre nb, d'abord de fil h' et g’, puis de f à h et g’. On portera de même la distance np = oq d'abord de « vers p et ij ' . puis de n' sers p’ et q'. et on procédera ainsi pour tout autre diamètre passant par o. Si l’on relie alors ces points par la ligne courbe mp'n , ni'p’n. mq'ii et m'q'n', on obtiendra la limite de l'ombre cherchée sur la surface annulaire, dont les deux premières se trouveront placé au dessus de Panneau, et les deux autres au contraire au-dessous de lui.

Mais, non seulement on parvient à déterminer, à l'aide d’ur.e distribution des ombres et de la lumière sur la sphère correspondante , la limite de l'ombre sur la surface annulaire, mais les différentes gradations de la lumière sur les parties éclairées de la surface annulaire seront en outre données par les parties correspondantes de la sphère , et les deux points les plus éclairés aux environs de q' el <f de la surface annulaire coïncideront avec les points les plus éclairés de la sphère.

§ 392. — Pour indiquer maintenant sur le plan vertical {Jig. 134. I.) la limite de l'ombre, il sera nécessaire de prcjctler sur ce plan les courbes trouvées dans le § précédent, et faire attention que la portion g'nt' q'h' lig. Il de la limite d'ombre vienne se placer, dans le plan vertical, sur la surface annulaire antérieure, et la portion g' p’ ni li' de celle même limite d'ombre à la surface annulaire opposée. Mais il est très facile de déterminer la projection des points g’, n. h’ et m; car g' et h' se trouvent dans les cercles de contact e b el ad, c'est pourquoi les points G et H sont leur projection dans les cercles correspondants KB et AI). De même M et N sont les projections de ni et n , parce que la ligne A B est la projection du cercle nrbe' . il ne s'agit plus que de projeter les autres points sur le plan vertical. Si on se représente dans la sphère A' un cercle passant par le diamètre mené par // et o , et dans une position verticale et si on rabat ce cercle . alors le point q. qui est

TROISIÈME TM1TIK.

le point d'intersection de lu jierpendirulairc 7 7 avec la circonférence, donnera lu distance du point 7 au diamètre de ce cercle tant en haut qu’en bas. Si on prend en suite cette ligne 77 au compas, et si on élève auparavant eu 7’ et /»' (points correspondants à 7 et p), des perpendiculaires sur r // . et si sur ces lignes l'on porte ces distances de la ligne A R {fig. I), en-dessus et en-dessous . et d'abord vers Q, puis vers I* , alors Q un des points de la limite de l’ombre qui est en avant . et P un autre point de lu limite d’ombre qui est en arrière. On trouvera de même les points T et T' si l’on fait CT = CT’ égal à la perpendiculaire U. et ou pourra, par la répétition de ce procédé, trouver autant de points que l’on jugera nécessaires pour la détermination de la limite d’ombre. I.u portion GXTQII de celte ombre se trouve sur lu moitié de la surface annulaire qui est eu avant, et la portion G PT' Mil sur la moitié postérieure , et toute la courbe marque la ligne suivant laquelle la surface annulaire est touchée par le cylindre lumineux qui l'enveloppe.

Ou trouvera, pur conséquent, de la même manière dans la tig. I la projection de la limite de l’ombre qui se trouve à lu partie inférieure de l'anneau. Les points g’ n' h’ et m' de la lig. Il donneront de nouveau, comme nous l'avons fait voir plus haut, les points G, .Y, Il et M dans la lig. 1. Les points T et T appartiennent à la fois à la limite d’ombre intérieure et extérieure; car. comme dans la tig. Il si’ a été fait = si' , alors la perpendiculaire tt servira aussi à la détermination du point II' sur le plan vertical de même qu’elle a été employée précédemment pour la projection du point l . De même 011 prendra dans la lig. I la distance des prurits P et y de AB égale à la perpendiculaire 77 de la fig. II, parce que o'p ’ est de nouveau = o'q' , ainsi que o'q' - o'p' , cl l’on obtient ainsi dans la (ig. I . en reliant tous les points cherchés, la courbe G'TTI'TG’ comme étant la limite d'ombre qui se produit audessous de l’anneau , limite d’ombre dans laquelle le cylindre des rayons passant par l'ouverture circulaire touche la surface courbe intérieurement.

§ 393. — Problème. — Trouver l'ombre priée qui estprojetlée par un cylindre courbe de forme annulaire, tant sur le plan horizontal que sur le plan vertical [fig. 134).

TRC1TR DI' TIES9I1I üRORÉTRIQrE.

- 1 * DESSIN GÉOMÉTHl^lE.

Solution. — Les lignes d'intersection des deux cylindres lumineux; avec le (dan horizontal el le plan vertical , forment; le contour de l'ombre portée. Mais comme la projection est donnée par lu direction / el /'des rayons lumineux ; et que les limites de l’ombre qui produisent celte ombre portée sont déjà trouvées sur les deux plans ; alors on trouvera, d'après ce qui a été dit précédemment, la limite ni/m et ni un de l’ombre portée dans la lig. Il , telle qu'elle se produit à l'aide de la hg. I.sansqu'ilsoit nécessaire d’ajouter de nouvelles explications.

Si l’anneau ne se trouvait pas posé immédiatement sur le plan hori/onlu! liguré par xy , mais plus ou moins éloigné de celui-ci , la construction resterait néanmoins la même , quoi que la forme de l'ombre portée puisse subir des modifications, dans le cas oii l'on aurait à déterminer les portions de son contour qui sont produites par les limites de l’ombre mq'n et m'ti'n'.

Si l'anneau se trouvait placé immédiatement contre un plan vertical, et si on devait chercher l’ombre portée qu’il projette sur ce plan d'après les données admises ici, il faudra alors que la ligne xy Jty. I) soit tangente au point r Jig. II). Mais alors la construction se poursuivra de nouveau en suivant les procédés déjà connus . puisque les limites d’ombre qui engendrent l'ombre portée ont déjà été figurées, cl celte ombre portée aura la forme île SS fiy. 111 . avec cette restriction qu’elle n’est projetée que par le demi-anneau ithca fty. II;. Il sera, au contraire , nécessaire , ainsi que cela est facile à comprendre, de reproduire , mais dans une position inverse . la moitié inférieure de tout l’anneau, moitié qui est semblable à SS, et qu'on ne voit pas.

Si enfin l'anneau se trouvait éloigné du plan vertical , alors l'ombre portée ne subira pas de changement , seulement sa courbe supérieure tombera d’autant plus bas que l’anneau se trouvera plus éloigné du plan.

Si l’ombre portée est projetée sur un plan incliné ou sur une surface courbe , alors on exécutera les constructions convenables, eu suivant les procédés indiqués précédemment, et il u’ est pas nécessaire de donner ici d’autres éclaircissements.

lai courbe (J 'TH' Juj . III i unie la limite de l'ombre sur la l'ace interne de l'anneau.