TROISIÈME PARTIE

à /' la ligne R’ p* , qu'on a élevé sur o p en r> la perpendiculaire rr' où elle coupe la circonférence du demi-cercle, qu'on a mené la ligne Rr parallèlement à l, et que par là on a trouvé le point r comme étant l'ombre du point R; de même, pour déterminer plus rigoureusement encore la limite d'ombre , on pourra admettre d'autres points entre A’ et T' ou D et T, et marquer leurs points d'ombre a la surface cylindrique entre a et l. üii a Tait voir dans les § 337 , 2 et § 332 que la limite d'ombre ad produite par A'rf',est une portion d'ellipse, et qu’elle doit apparaitre ici comme ligne droite.

Nous ferons encore remarquer que t w est la limite de l'ombre à la surface du cylindre, elle se réunit en t avec celle de l’ombre portée. Mais il est impossible de prolonger d'avantage l’ombre portée du plateau, puisque les points que l’on admettrait entre T’ et B’ ou entre T et C ne pourraient plus produire des points d’ombre à la surface du cylindre , vu que le plan lumineux élevé perpendiculairement sur T’ r est tangent à la surface cylindrique le long de te t , et engendre sur la surface mnop la limite v u de l'ombre portée (§ 405).

Il est facile de démontrer que l’oinbre portée , projetée par l’arètc B C du plateau sur la surface mnop et sur le parallélipipède I K !*Q qui lui est parallèle, parait brisée, de lellesorte que bu + s ' o - B B— é' c, tandisqucla limite de l’ombre B b, au contraire, se montre sur ces deux surfaces sous lu forme d’une ligne droite. Si, en effet, on se représente un plan lumineux élevé perpendiculairement sur B' fi', alors il coupera la surface mnop le long de fi' b', au contraire, la surface IKPQ le long de fih, et comme fi est plus éloigné de no que fi', alors bs et $' c ne peuvent aussi se trouver dans une même ligne droite, mais se trouveront au contraire éloignés l’une de l’autre proportionnellement à l’éloignement de ces deux surfaces. La ligne B 'b est sur le plan vertical la projection du rayon lumineux passant par B , et comme cette ligne est en même temps la projection de tous les rayons lumineux qui longent B' B’ le long de l'arète supérieure du plateau , tandis que cette ligne se trouve en même temps représenté par le point B ; alors tous les points que l'on adopte sur B' B' projetteront leur ombre sur la ligne B b ' , et par suite l'ombre de la ligne B' B’, sur le plan vertical,

308 DESSIN géométrioijk.

apparaîtra sur las deux surfaces m n o p et I K P Q sous forme d'uue ligne droite.

Nous devons enlin encore faire remarquer que la limite de l'ombre D d sur le plan vertical est produit par la portion AV de la ligne A’ A’, et que Drf se trouve avec da sur une même ligne droite . d’après les motifs que nous venons d’indiquer.

§ 430. — Lorsque les rayons lumineux arrivent dans la direction de la diagonale d’un cube comme dans la fig. 137, 1 alors ^Dti'test Si l'on prolonge ensuite les li-

gnes ««’ et 1 f jusqu’à 1) C cl A' B', il sera alors facile de démontrer, que Do = AV. xy — x'y' et Ct = B’/ , ,parlamême raison * a = sa' , • y= ty' et * l = *t\ La courbe a y l, qui est projetéepar la|M>rtion DT de l’ arête inférieure du plateau sur la surface cylindrique connue limite d’ombre, se trouvera être par suite un quart de cercle égal au quart de cercle a y' T . et conséquemment ou pourra abréger la solution comme suit : on fera x i = D z, on mènera I) • et 0 J, on décrira avec «a =za' le quart de cercle uyl, et on abaissera de I sur op une perpendiculaire lie ; alors <1 in/t sera la limite de l’ombre portée , t ir celle de l’ouibre propre. La limite d’ombre ayi forme à la vérité sur la surface cylindrique une ellipse, mais elle apparait dans la projection sous forme de quart de cercle (§ 138).

§ 437. — Si les angles y.D J et x’ As restent égaux entre eux , , mais s’ils ont plus ou moins que 4.3 degrés . alors la limite n y t ne formera pas de quart de cercle sur le plau de projection verticale, mais un arc qui sera égal à celui qui se trouve sur le plan de projection horizontale entre le rayon lumineux (tassant par A 1 et le point de tangence t' du dernier ravon lumineux.

Si les projections l et /’ des rayons lumineux sont dirigées perpendiculairement sur op (§ 354) , de telle sorte cependant que le rayon lumineux L forme dans l'espace un angle de 45 degrés avec les deux plans de projection verticale et horizontale, alors lu limite de l'uuibre portée apparaitra dans le plan vertical sous forme d’uu demi-cercle dont le rayon est égal à celui du cylindre {§ 138).

Si, au contraire, la direction du rayon lumineux /’ est de