TROISIÈME PARTIE

pour les représenter un plus grand nombre de points sur les lignes qui leur répondent.

§ 442. — Si l’on doit laver la figure à l'encre de Chine , ou déterminera alors , d'après les indications du § 298 sur le plateau et sur le cylindre, le lieu du jour le plus vif. et on suivra en général le procédé d'opération indiqué au § 439 ; on maintiendra toutefois la lumière plus vive sur le plateau que sur le cylindre . et vice verxa, l'ombre propre plus sombre sur le plateau que sur la surface cylindrique . ainsi qu'on le voit dans latig. 138,11.

§ 143. Problème. — Trouver l’ombre portée, que projette la moitié du plateau A RC D qui est un octogone régulier, sur un demi-prisme hexaédrique IKRQ. fi g. 139. 1. et sur la surface de fond mnop , lorsque tous deux se trouvent placés immédiatement contre cette surface et lorsque /et/’ indiquent la projection des rayons lumineux sur le plan vertical et sur le plan horizontal.

Solution. — Toutes les lignes limites des ombres qui se produisent ici seront des lignes droites, parce qu’elles ne sont engendrées sur des surfaces planes que par des lignes droites. Si de Q, *' et l' l’on mène les projections des plans lumineux parallèlement A V . projections qui donnent naissance aux pointsa', S' et T' , alors a' T' sera celte partie de l’arrête inférieure du plateau, qui détermine la limite d’ombre » a se <sur le prisme, limite qui pourra être obtenue ainsi que cela se voit par la figure en suivant la voie connue. D’après cela » sera le point d’ombre de a celui de A, * celui de S, c celui de E et t celui de T. De même le polygone B b f c a' À sera sur la surface du fond l’ombre entière de l’arrête inférieure du plateau et Cchgdb l’ombre de l’arrête supérieure de ce plateau, hf sera l’ombre de l’arrête II F dudit plateau et A a {ligne qui se trouve avec A n dans une même ligne droite), celle de *' A'. Les lignes e’ f et g li sont égales et |m rallètes à E F , de même que C u et t e sont égales et parallèles à E T. Le plan lumineux élevé perpendiculairement surT'u' touchera l’arrête F F’ du prisme, et indiquera par la projection T u du rayon lumineux sur le plan vertical les |>oints f et u. de même que la limite de l’ombre portée un’ qui engendre gurmnog la portion t U.

IRAIT! Dr SKSSIK CÂ0MK1 HIgt'K. 40

§ 444. Les règles que l’on a suivies pour le lavis de la figure 139, II, ont été détaillés dans les § 270, 277, 280, 203, 203, et dans le chapitre précédent. Nous devons seulement faire remarquer ici que la face latérale du prisme située au-dessus de Q*' doit-être maintenue plusclaire d'après le§ 407 que celle qui est située au-dessus de s'

§443. Problème . — On doit trouver l'ombre portée que pro* jette sur une surface mnop un prisme EGà quatre faces, situé contre cette surface et recouvert d’un plateau A Cde forme demicirculaire, lorsque sur cette même surface se trouve placé un demi-cylindre horizontal 01, de telle sorte, que celui-ci se trouve encore atteint par l’ombre portée du plateau et du prisme, et lorsque les projections des rayons lumineux arrivent suivant la directiou arbitraire l et V fig. 1 40, 1.

Solution. — On cherchera d’abord l'ombre portée que le plateau projettera sur la surface mnop, en second lieu, celle qu’il projettera sur le prisme, en troisième lieu, celle que le prisme projettera sur la surface mnop , en quatrième lieu, l’ombre que le demi-cylindre horizontal projettera sur le fond mnop, en cinquième lieu, celle que le plateau projettera sur ce demi-cylindre, et en sixième lieu, l’ombre que projettera le prisme sur ce cylindre. Par là, non seulement on suivra avec facilité les constructions nécessaires pour l’exécution de la ligure entière, mais on a encore l’avantage d’avoir un problème dans la solution duquel on a à résourdre six différents CM.

I*. On trouvera la limite de l’ombre portée, projetée par te plateau sur la surface mnop, d'après les indications du § 441.

2*. Le prisme quadrangulaire se trouve immédiatement contre la surface de fond mnop. La limite de l’ombre du plateau ne pourra donc conserver partout la forme que l’on vient de trouver, mais elle changera pour prendre celle de res là où cette ombre portée tombe sur la surface antérieure du prisme. Cette courbe est de nouveau la portion d’une ellipse qui est représentée à l’aide des points R’.E', et S’ ainsi que par R, E et S.

3*. La limite de l’ombre portée, que le prisme projette sur la surface m nop, apparaîtra sous forme de la ligne droite f /’,

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mais qui ne sera visible ici que jusqu'à À. c'est-à-dire jusqu'à la limite de l’ombre portée que le cylindre (j 1 projette sur la surface mnop.

4*. Mais [mur trouver l'ombre portée, qui est projetée par le demi-cylindre horizontal Q 1 sur la surface mnop, ou tracera la projection ytuh de ce cylindre sur le plan horizontal et on agira ensuite comme on l a fait pour les lig. 1 13 et 110.

5\ Pour trouver la limite de l’ombrc-portée, que le plateau projette sur la surface courbe du cylindre QI, il faut, oomnic cela a eu lieu dans le § 352, rechercher les ellipses, dans lesquelles les plans lumineux, élevés perpendiculairement sur les projections des rayons lumineux daus le plan horizontal, coupent la surface du cylindre ; on aura donc à déterminer sur ces ellipses les points où les rayons lumineux, qui longent les points projetés sur l'arrête inférieure du plateau, viennent frapper la surface du cylindre Ql étendu horizontalement. Ainsi, par exemple, pour trouver le lieu dans lequel le point F de la ligne DG jettera son omhrc sur la surface cylindrique. on construira la demi-ellipse 1 , 2, 3, 2. 1 , et on coupera celle-ci par la ligne F /'■ en «r, alors, w sera l'ombre du |>oint F, et la ligne mixte hüc, celle de la ligne droite FF, puisque le point d’ombre /’ qui primitivement tombait sur le plan t» no p, viendra maintenant à se trouver àla surface du cylindre en w. Mais la ligne t w est une portion de la ligne courbe 12321 déjà trouvée, parce que tous les points que l'on voudrait admettre sur la ligne K F au-dessous de v , jetteraient •leur ombre en lie, tandis que F' est la projeclion delà lignp ■entière FF. Ainsi donc Al sera l'ombre de F v et lie celle de v F. De même on trouvera x comme étant le point d'ombre X, y comme celui de Y et a comme celui de S, et si on réunit ces points par une cour lie , alors lietcy * sera la limite dp .l’ombre portée projetée par le plateau sur le cylindre.

b". — Hulin la ligne limite de l'ombre portée projetée par Je prisme sur la surface cylindrique, est formée d’après le§ 352,, par la ligne oourbe a «y qu'on a déjà été obligé de tracer pour la détermination du point Mais celte ellipse est en même temps la ligne dans laquelle le plan lumineuxquilonge FG, coupe la surface du cylindre, el pour cçla l'ombre ne vient

316 DESSIN UtiOMtfTRIQl'E.

que jusque y, parce que l'ombre propre du cylindre commence précisément en ce point.

§ 113. — Si l’on songe que DC, FF el FB [fig. 140, I) sont les portions du plateau qui forment les lunes de limite de l'ombre portée tant sur la surface mnop que sur la surface courbe QI ; alors l'exactitude du procédé employé ici ressortira d’elle même d'après ce qui a été dit jusqu'à présent à ce sujet. Nous croyons cependant devoir rappeler ici les règles du procédé employé pour trouver un point quelconque de la limite d'ombre, de te, par exemple. Si on se représente donc un plan lumineux élevé perpendiculairement au-dessus de F’ 321, celui-ci touchera la surface mnop le long de, 1 If' h et en outre coupera la surface du demi-cylindre Q 1 en une demi-ellipse, dont la projection sur le tableau est la courbe 1 2321 déjà trouvé. Comme maintenant le rayon lumineux qui glisse en F le long du rebord du plateau se trouve dans le plan qui iui-nièmc doit passer par le point inférieur F du plateau ; alors ce point projeter son ombre là où la projection F f de ce rayon lumineux sur le plan vertical, atteint la ligne d'intersection <2321 du plan lumineux avec la surface du cylindre. Or, comme ceci a lieu en te, alors te sera l’ombre du point F. Il démontre de même que x est l’ombre de X, ;/ celle de Y et x celle de S.

§ 446. — Il n’est pas besoin d’entrer dans des explications plus détaillées pour faire comprendre que la construction resterait la même si la surface mnnp et le corps qui se trouve contre avait une position inclinée, ou bien si OC au lieu d’être un demi cylindre, était, par exemple, un demi-prisme ou un cylindre entier, ou un corps d’une forme toute différente. En tout les cas , il s'agira toujours de rechercher les lignes d’intersections des plans lumineux avec un de ces corps, et de déterminer sur celui-ci l’ombre des points correspondants.

§ 447. — Le lavis de cette réunion de corps se fait d'après les lois connues, comme on peut s’en convaincre par l’examen de la fig. 14011.

§ 446. — Problème. — Un cône droit tronqué GH Kl (fig. 441) est recouvert par un plateau de forme carrée, de telle sorte que l’axe du cône passe par le milieu du plateau ; on doit trouver l'ombre portée que ce plateau projette sur la sur-