TROISIÈME PARTIE

face du cône , lorsque les projections des rayons lumineux arrivent dans la direction marquée par / et l'.

Solution. — Malgré que ce problème ait une grande analogie avec celui du § 435 , il s’en distingue cependant en ce qu'ici la forme du cône exige ‘un autre procédé d’opérations différent de celui employé dans le cas du cylindre. En effet, si dans le cas du cylindre les plans lumineux que l’on élève perpendiculairement sur les projections des rayons lumineux du plan horizontal, coupent la surface cylindrique en lignes droites, ici au contraire la surface conique sera coupée par un plan lumineux en lignes courbes, qui seront même des hyperboles (§ 141 ); à l'exception du plan lumineux qui est posé sur le rayon lumineux po passant par le centre o, et qui engendre une ligne d’intersection droite qr, dont q'r' est la projection sur le plan horizontal ( § Ht).

Afin donc de pouvoir déterminer la limite d’ombre que l’arrête A B du plateau produit sur la surface conique, il s’agira de nouveau de trouver les ombres de certains points. A cet effet on mènera sur le plan horizontal une tangente C n’ au demi cercle G' I)’ H’ ( qui est la projection du la base supérieure du tronc du cône), cette tangente devra même être parallèle à on partagera le côté G I du cône en un nombre égal de portions, soit par exemple en 3, on mènera 13 ct2,4 parallèlement à la ligne de terre xy , et on décrira avec o 1 et o 2 sur le plan horizontal les demi-cercles correspondant à ces lignes. Si après cela on projette les pointsm’,«',p, D’ , / et n' sur le plan vertical dans les lignes correspondantes , et si l’on mène par ces points correspondants D’v et n obtenus sur le

cône , une courbe m D n, elle sera, d’après le § 1 40 , l'hyperbole cherchée , dans laquelle le plan lumineux , posé sur G' n' , coupera la surface conique. Si d'autre part on projette le point C' sur AB en C, et que l'on mène de C une ligne parallèle kl, alors le point C, dans lequel cette ligne coupe l’hyperbole, sera le point d’ombre cherché de C. On trouvera par le même procédé les ombres a et f, des points A et F et de tous autres, que l'on admettrait pour une détermination plus rigoureuse des limites d'ombre sur A' B' ou A R. La ligne d’intersection F», sur laquelle se trouve a comme étant le point d’ombre de A , et

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dont la ligne f'V est la projection sirr le plan horizontal, est de même la portion d’une hyperbole , quoique ici elle se distingue d’une manière très-peu sensible d’une ligne droite. La portion n n' de la limite d’ombre apparaît de nouveau ici connue étant une ligne droite 339, 2 et § 332). quoi qu’elle soit en réalité une ligne courbe elliptique. La limite d’ombre en forme de ligne courbe nnf est la projection d’une courbe elliptique , et comme telle la portion d’une ellipse ou même aussi celle d'un cercle ; car le plan sur lequel se trouvent tous les rayons lumineux qui longent AB forme une ellipse, puisqu'elle coupe la surface conique. La limite sombre acf est prolongée jusqu'à Z. c'est-à-dire jusqu’à la limite de l’ombre, laquelle ombre on trouve, d’après le §3 18, en ce qu'on prolonge d’abord les côtés IG et KH du cône, jusqu’à ce qu’ils se coupent au sommet S. Après quoi on mène ,vy parallèlement à l, on élève sur ,r »/ ou y une perpendiculaire y* qui ira couper en s la prolongation depo. on mène de ïtme tangente st' au demi-cercle 1 K’ K , on projette le point 1’ en / sur 1 K , et on mène Si.

§ 449. — Si le cône est recouvert par un plateau cylindrique ou poligonal , le procédé à employer pour trouver l’Ombre portée sera encore le même, quelque soit l’augle que forment les projections des rayons lumineux avec la ligne de terre, et quelque soit la saillie du plateau ; toutefois la détermination sur l’arrête inférieure du plateau des points par lesquels est formée la limite de l'ombre portée, occasionne quelque différence dans la construction , puisque leurs distances dans le plan horizontal les uns des autres ne concordent pasavcc celles du plan vertical, comme c'était le cas dans la fig. I II ; ces points se trouveront bien plus rapproebés sur le plau vertical que sur le plan horizontal, lorsque sur Je plan vertical ils se trouvent compris dans une ligne courbe ou inclinée vers le tableau ( fig. 1 38 et fig. i 39).

§ 480. Si In cône se trouve posé sur sa base la plus petite , at, si , au contraire , le plateau recouvre la ph»s grande base du dôme, on trouve alors l’ombre portée en suivant les indications indiquées au § 448; avec cette différence seulement qu’ici tiendra compte de la différence de position du cône , qui