TROISIÈME PARTIE

entraînera aussi la différence de position de l’hyperbole. L'étendue et lafornie du plateau, ainsi que les dimensions du cône, auront naturellement une intluence très-marquée sur la forme de l’ombre , dans ce cas où la direction des rayons lumineux serait de nature à produire de nouvelles ombres portées.

§ 45t. — Pour faire une distribution convenable des ombres et des lumières dans la fîg. lit, à l'aide de l'encre de Chine, on suivra les règles précédemment données. Il faut encore remarquer ici , que , puisque près de la surface conique, les rayons lumineux arrivent sur le côté gauche de la figure sous des angles, qui se rapprochent plus des angles droits que cela ne peut être le cas près d'une surface cylindrique aux mômes endroits, on devra aussi rendre plus vif le jour le plus brillant qui se montre ici, et aussi tenir en cet endroit l’ombre portée plus foucée. Du reste, il faut que la partie lumineuse du cône soit lavée de haut eu bas, et au contraire l'ombre et l'ombre portée de bas en haut , de telle sorte que l' ombre portée que l'on voit ici apparaisse plus sombre sur la limite que sur le corps qui projette l’ombre.

§ 452. — De même que pour les cinq corps convexes et recouverts de plateaux que nous avons supposés ici, on a trouvé , à laide d’une construction géométrique . les ombres portées; de même on trouvera pour les autres cas admis ici les ombres, les limites des ombres portées et les ombres propres. Avec un peu de rcllexion on trouvera les constructions qu’il faudra employer ainsi que les différentes teintes du lavis pour les différents cas, et pourront être déterminées d'après un ou plusieurs des problèinesdéjà résolues, peu importe que la base du corps aussi bien que celle du plateau qui le recouvre soit un polygone régulier ou irrégulier , que ce plateau repose ou non par son milieu sur celui des corps situés verticalement , que le rayon lumineux frappe lasurlarc du tableau de gauche à droite ou de droite à gauche, qu'il forme avec lui un angle aigu ou obtus , etc.

§ 453. — Si au contraire le corps a une position honzoalale , et que le plateau qui projette l'ombre une position verti cale, telle que par la direction des rayons lumineux, il projette

une ombre portée sur le premier, alors leprocédé employé jusqu’ici pour trouver l'ombre portée , restera eu général le môme, et n’éprouvera de modification que dans le cas où l’on donnerait, à la ligne de terre xy une position non pas horizontale, mais verticale, de telle sorte qu'elle forme avec l’axe horizontal du corps un angle droit, et qu'ainsi les plans nécessaires pour la construction des ombres viennent à se trouver placés l'un à côté de l’autre.

§ 434. — Problème. — Un petit cylindre rsun 1 vertical, est recouvert par un cylindre plus grand DEFG, placé horizontalement ; contre ce dernier se trouve encore placé un autre cylindre A B (fig. 1 42) également placé horizontalement, mais avant un plus grand diamètre que le précédent ; construire l’ombre portée que projettera en premier lieu le cylindre AB sur DEFG , et en second lieu celle que le cylindre DEFG projettera sur rsun', lorsque les rayons lumineux arrivent dans la direction de la diagonale d'un cube.

Solution. — Pour trouver la première ombre “7, on donnera à la ligne de terre xy une position verticale, et on déterminera sur le plan horizontal l'are a' C‘ . qui engendre sur la surface du cylindre D EFG la limite de l'ombre portée, puisque d'après le § 44i on mène de D' la ligne Da' parallèlement à F, et au cercle D’ E' une tangente B' c’ aussi parallèle à F, tangente qui louche ce cercle au T'. Ensuite on déterminera d'après le § 441 les points d’ombre » et ?, ainsi que les points nécessaires pour la détermination plus précise de la courbe d'ombre, comme par exemple, ^ et 5, et on mènera par eux la limite y de l’ombre portée cherchée.

Pour figurer la deuxième limite d'ombre tiopq, le point T' déjà trouvé est nécessaire parce qu'il marque la limite T t de l'ombre sur le cylindre D E F G, et ce sera le long de cette ligne (pic glisseront les rayons lumineux qui limitent l’ombre sur le cylindre *r un', car tous les rayons lumineux au-dessus deC, tels que par exemple b,, JS', d’,»”, éclairent la surface cylindrique horizontale, et n'exerceront aucune influence sur l'ombre que ce cylindre projettera sur le cylindre vertical 25 lin'.

On tracera donc au-dessous delà ligne de ferre a: ÿ le demi-

THOlSlf.MK PARTI K.

cercle ri p' u du cylindre vertical, on fera p' r'=T c' et on mènera par p’ la ligne T’t' parallèlement à XY, ainsi T' I' se trouve êlresurle plan horizontal U projection de T /. et avec cela le problème se trouve ramené à celui du § 135, puisqu'il nés' agira plus que de trouver la portion de T < ouT' I' qui produit la limite d'ombre. A cette fin on mènera de ri la ligne ri h' parallèlement à f, et contre le demi-cercle ri pu une tangente q' ri également parallèle à f; alors h' tri ou sa projection Am sur le plan vertical sera la portion à chercher de la ligne qui projette l'ombre. Si maintenant on admet entre h' et »«' plusieurs points à volonté, par exemple, i', A', si on les projette dans T t en i et k, si on mène les lignes i" o' et A' p' parallèlement kl' et si on coupe les perpendiculaires élevées sur X Y en O’, p’, et q' par des lignes menées parallèlement à /, de h. i, k et m en o,p, q, alors la courbe nopq menée par eux sera la limite d’ombre cherchée.

g 455. Comme dans la direction admise des rayons lumineux l’angle < nhv= < n h'v il sera alors facile de montrer que les distances perpendiculaires des points n' o' p' q' de T' l' sont égales, de sorte que nopq doit être le même arc que ri o' p' q’ ; et comme ivkpx-iv'k'p' , alors i’p=e'p'. La construction abrégée suivante s'appliquera donc au cas présent. Après qu’on aura trouvé le point T' comme on l'a fait voir plus haut et qu'on aura mené T t, on fera t'p=Tt’’, on prendra dans l’ouverture du compas le diamètre du cylindre vertical rs un' et avec lui on décrira de i comme centre l’arc npq jusqu'à la limite de l'ombre latérale, lequel arc doit avoir ici 135 degrés.

§ 456. Si les deux cylindres ont l’un par rapport à'I’autre une grandeur ou une position autre que celle dessinée dans la (ig. 142 ; si le cylindre vertical se trouve placé un peu plus en avaut ou encore plus en arrière ; ou bien si les rayons lumineux arrivent suivant des directions différentes; alors la construction à faire restera la même, seulement l’ombre portée produite devra naturellement prendre une forme analogue • aux modilicationsdes contours, et qui sera plus oumoins différente de celle-ci. Dans tous les cas, il s'agira toujours de tra-

Tll IITK SU DltAMS CKOVBTSIQVK- 41

cer sur la surface du cylindre qui projette l’ombre la ligne qui est la limitede l’ombre portée sur le cylindre qui est vertical, c’est-à-dire celle qui produit la limite de l'ombre propre sur le cylindre recouvrant. Il ne sera pas difficile, à celui qui réfléchira un peu. de trouver la construction abrégée de ces différents problèmes.

S 457. Les circonstances sont encore les mêmes . lorsqu'il s’agit de trouver l'ombre portée que projettera un cylindre sur une surface plane. Ici aussi la chose essentielle c'est la détermination de la ligne T/, fig. 142, I, parce que par elle est formée la limitede l'ombre portée qui sera dans ce cas une ligne droite (voyez K 140, 1).

Si s l u ii au lieu d’être un cylindre était un prisme, on déterminera de nouveau la ligne T /, et l'on agira pour la recherche de l'ombre ainsi que cela a été enseigné dans le $ 443 puisqu’ici on envisage la ligne T t de la même manière qu’on l’a fait pour la ligne AB, à l’aide de laquelle on a trouvé la limitede l’ombre portée a été trouvée. La saillie du corps qui recouvre l'autre ou l'éloignement de la ligne Tf du prisme est de nouveau indiqué par/)’ »=Tt\

§ 458. I,a lig. 142 II, fait voir comment ces trois surfaces cylindriquesdoiventétrc lavées d’après les instructions données à ce sujet et dans quel rapport doivent se trouver entre elles les limites des parties qui se trouvent dans la lumière ainsi que celles des trois faces et les deux ombres portées (voyez

§ 459. Problème. — Un corps convexe de forme régulière (coussinet), dont les deux bases sont des cercles de diamètres différents, est recouvert sur le plan horizontal par un plateau de forme carrée, et il se trouve lui-même sur un cylindre au-dessus duquel il fait saillie , de (elle sorte que les axes du cylindre et ceux du corps convexe se trouvent sur une même ligne et passent par un point central du plateau qui recouvre, comme cela peut se voir dans la lig. 143. On doit trouver les omhres portées et les ombres propres , qui dans cette réunion de corps apparaîtront à leur surface , lorsque la direction des rayons lumineux est égale à celle de la diagonale d’un cube.