TROISIÈME PARTIE

SoliUitm. — L'on a à chercher pour ces corps les ombres suivantes.

1* L’ombre propre du coussinet lui-même ;

2* L’ombre portée de ce même coussinet sur la surface cylindrique.

3” L’ombre portée du plateau à la surface courbe du coussinet ;

■4° L’ombre portée du plateau sur le cylindre.

Relativement à l'ombre propre qui existe sur la surface courbe du coussinet , on la trouvera en suivant les indications des § 300 et 379, il est en effet indifférent que la courbe qui détermine la forme de ce corps soit un arc de cercle ou une ligne ayant une courbure différente. On dessinera donc, comme cela a eu lieu dans la fig. 143, la ligne n' C comme étant la projection d’un rayon lumineux pallèle à l’ et |«r les points prisa volonté d' .d'.d' , etc. sur la ligue a'b', des lignes papallèles à ce rayon de lumière. Après quoi, on cherchera les lignes d’intersections des plans lumineux sur le plan vertical, en projetlant les points 1. 2. 3. 4. 5. 0.) (où parexemplo la ligne a' c’ coupe les cercles concentriques) sur la projection verticale dans les points 1. 2. 3. 4. 5. 6. et 4, points qui se trouvent sur les lignes droites correspondantes au cercle sur le plan vertical et en menant par tous ces points la courbe 1,6. 4. On tracera par le même procédé un système de courbes dans la projection verticale; à chacune d'elles on mènera une tangente parallèle à /, et on reliera tous ces points de contact par une ligne courbe fiicgt ; et ainsi celle-ci se trouvera être la limite de l’ombre propre du corps en question.

Si eu second lieu on prolonge ces tangentes jusqu'il ce qu'elles coupent sur la surface cylindrique les lignes verticales qui leur correspondent, et si l’on réunit là les points d’intersection par une courbe hik ; celle-ci sera la limite de l'ombre portée que le coussinet projettesnr la surface cylindrique, cl f uc g t sera la courbe déterminant la limite d’ombre portée hik.

Si en troisième lieu on détermine sur la ligne a b do plan vertical, les points d',d' ,d', etc., relevésdes points d, d,d, etc.

du plan horizontal cl si l’on mène de ces points des parallèles A /, alors les points d'intersection de ces lignes avec lescourbes[trouvées d’abord détermineront sur le coussinet la limitée, m,n,</ de l'ombre portée sur ce corps par l’arête inférieure du plateau qui recouvre.

Si enfin on décrit en quatrième lieu avec le demi-diamètre oi=c'r un quart de cercle o /; q, celui-ci sera la limite de l’ombre que l'arête ab du plateau projette sur la surface cylindrique (§. 436).

Ces ombres, ainsi qu’on peut s'en assurer par l'inspection de la ligure 1 43, se recouvriront en partie les unes les autres. Ainsi le contour do l'ombre portée sur la surface cylindrique sera hsoik dans lequel o « est l'ombre d une portion de l'arète inférieure a b du plateau et ik au contraire celle du coussinet sur le cylindre. Les lignes so aussi bien que vu seront des lignes droites comme cela a été indiqué dans la figure 1 19 et en d'autres endroits. La portion hs se trouve encore être l’omdre du coussinet, laquelle est produite par la ligne fuegt de celui-ci. Enfin la ligne em»</estproduite, comme il est facile de s'en convaincre, par une portion del'arêteinférieurcdu plateau.

§460. Dans cette figure on n'a fait qu'appliquer les ombres. Leur lavis complet a lieu d’après les lois connues et s'exécutera sans aucune difficulté.

§ 461 . Les principes et les règlesà l’aide desquels on a trouvé sur les corps convexes la forme de l’ ombre portée peuvent aussi en général être employés pour la détermination des ombres portées quise forment sur des surfaces concaves ou creuses de certains corps comme du reste on l’a fait voir dans les figures 1 25 à 130. Mais la forme de cette ombre portée dépend de laforme et de la position des lignes qui produisent ces limites, ainsi que de la forme de la surface creuse sur laquelle est projetée cette ombre portée et enfin de la direction des rayons lumineux. I,a construction à employer chaque fois est donc indiquée par ces trois causes, et elle doit être telle que l’on puisse par un moyen simple et prompt trouver la forme de l’ombre portée ainsi qu'elle se présente réellement dans la nature sous les mêmes conditions.