TROISIÈME PARTIE

Remarque. Comme on peut se représenter dans beaucoup de cas l’es|iace creux d’un corps comme étant une niche qui a un développement plus ou moins grand, alors on devra employer dans la suite cette expression à cause de sa brièveté.

§ 462. Problème. — Trouver l'ombre portée qui se forme à la surface concave d’une niche demi-circulaire, recouverte par un quart de sphère ad/', lorsque les rayons lumineux arrivent dans la direction de la diagonale d'un cube ifitj. 144).

Solution . — Quand les points d'ombre tombent dans la portion cylindrique de la niche, ainsi que cela est le cas pour les points*,, s et y. fiy. I, on suivra alors la voie tracée précédemment. Pour cela on prend les points a,h,c, à volonté sur le demi-cercle a il /qui produit la limite de l'ombre, ou les projette horizontalement sur la ligne a' f, on tire parallèlement à V lis droites o'«’,6' aux points p, ÿ, on élève des perpendiculaires sur xy, enfin nu mène de n, b, c des parallèlesii/. qui couperont les perpendiculaires susdites en ,,,s, y.

Mais pour trouver l’ombre des points qui tombent dans le quart de spèrc creux, ainsi que cela est par exemple le cas pour le |ioint ri, on mènera sur le plan horizontal ri 4 parallèlement à f, ou décrira avec le demi-diamètre pris à volonté, les demi-cercles d'c,it l> et ri A , on projettera les points é,i»et k, sur le demi-cercle adf, et particulièrement enc, b et A, on mènera par eux des lignes droites parallèles àxy; on projettera les points d'intersection t. 2. 3. 4. du plan horizontal dans les lignes qui leur rorrcs|>ondent du plan vertical. et là on mènera par t. 2.3. 4. une courbe dans laquelle le quart de sphère sera coupé par le plan lumineux élevé perpendiculairement au-dessus de ri 4. Rufin si on mène par ri une ligne parallèle à i, alors le point t dans lequel elle coupe le quart d’ellipse, sera le point d’ombre de d. En répétant plusieurs fois cette construction on trouvera les ombres de tous les |>oinls que l'on voudrait prendre sur le plan vertical entre cete. (Le demi-cercle n ilf se trouve touché dans le point e par la tangente si menée parallèlement à i.) La courbe e#yj5n tracée par tous ces points ainsi trouvés sera l'ombre de l'arc eu de même que la ligne droite au sera l'ombre de au*.

3 if) DESSIN GÉOMÉTRIQUE.

§ 463. Si l’on se sert du procédé opératoire indiqué au § 366, on obtiendra alors par un moyen bien plus commode les points d'ombre dans le quart de cercle creux. A cet effet, on mène oy parallèlement à l et n y parallèlement à l , ou elève «n perpendiculairement sur ./ y, cl up perpendiculairement sur oy, on fait op=qn et on mène yp. Si l'on suppose après cela le triangle opy rabattu autour de o y, jusqu’à ce qu’il Tienne se placer perpendiculairement sur o y q ; alors p y sera le véritable rayon lumineux I.et l'angle p tjo celui qu’il forme avec la surface du tableau du plan vertical. Pour trouver maintenant à l'aide de ce rayon lumineux l’ombre du point d. ou mènera <//' parallèlement ù oy ou l, ou décrira sur cette ligue un de-mi-eercle , ou mènera dm parallèlement à p y, et on abaissera de m sur (//'une perpendiculaire, alors le point «'dans lequel elle coupe d f. sera l’ombre du point d. comme cela a élé montré dans le § 366. On pourra trouver de la même manière les ombres des autres points situés entre c et e, et la courbe d'ombre sera déterminée avec d’autant plus de précision que l’on répétera davantage ce procédé opératoire bien simple eu lui-même. Mais |>our trouver les points et y, la méthode indiquée nu £ 462 atteint mieux le but et doit être considérée comme préférable pour tous les cas de ce genre.

§ 404. Avec un peu de réflexion, on emploiera facilement d’autres méthodes, ainsi-qu'ou l'a dit § 402. selon que la niche a une position inclinée vers la surface du tableau du plan vertical , telle que a' f' forme avec .t y un angle quelconque, ou bien si ia niche u une position horizontale, telle que la ligno centrale d soit parallèle avec xy, mais que le quart de sphère, se trouve sur le côté d’où arrive le jour, ou bien si les rayons lumineux forment avec xy un autre angle, ou bien si la niche n'est pas terminée, par un quart de sphère, maisd'unc toute autre manière, ou bien si a 1 u' /' au lieud’étre un demi cercle, est un segment de cercle ou même une portion d'ellipse ou toute autre courbe, etc.

§ 463. Dans le lavis de cette niche à l'encre de chine, l'ombre portée ainsi qu'un peut le voir par la fiy. 144 II, sera la pins foncée vers les extrémités et surtout à l'endroit où elle passe sur la lumière la plus vive; elle sera fondue vers la gauche

et le haut, pour former une lumière de réflexion qui devra surtout être apparente en haut dans le quart de sphère, dans les environs de k jusqu'à e, parce que cette portion de la voûte, reçoit un jour de réflexion, non-seulement du reflet de la partie éclairée de la niche, mais encore du sol ou repose cette niche. La surface plane qui entoure la niche, devra être (euuc d'après le § 407 , plus sombre (pie la portion éclairée de la surface concave, qui se trouve immédiatement contre celle-ci à gauche de / g, et à plus forte raison plus sombre que la lumière la plus vive. En effet les projections des rayons lumineux surlc plan horizontal forment avec la ligne f r un angle de 4a degrés, au contraire, et avec l'arc f' 4 des angles qui se rapprochent d’avantage de l’angle droit. Cet angle devient près de 4 égal à 90 degrés, et à partir de là décroit de nouveau. La portion de la surface de la niche située dans le fond, au-dessus de u' fi’, doit être tenue un peu plus sombre que les surfaces antérieures placées au-dessus de ca et f r. On a déjà montré dans le § 305, que la lumière la plus vive sur une surface polie ne se trouve passurla ligne perpendiculaire élevée sur 4, mais quece reflet existe plutôt vers le milieu de l’arc a' 4.

§406 .Problème. — Une ouverture de forme cylindrique, existe sur le milieu d'un quart de sphère; trouver l'ombre portée qui se forme par la , sur la surface concave du la niche décrite dans le précédent problème, en admettant ici comme là, la même direction des rayons lumineux {fig. 145).

Solution. — On se représentera d'abord le demi-cercle a og, comme s'il était entier et on construira d’après le § 402, l'ombre portée fk ■# w qui commencera auprès de la tangente U et qui suffisamment prolongée ira jusqu'à l'axe oo'. Après quoi, on s’occupera du demi-cercle d' p' e' , dont la ligne cd est la projection sur le plan vertical ; on adoptera sur d' p’ e' des points à volonté, on les projettera en cd et on cherchera leur points d'ombre. Il va sans dire qu’ici il faut faire abstraction des points d' etc’, ainsi quedu point p' (dans lequel la tangente p’ r' menés parallèlement al' touche le demi-cercle). On voit aussi par celte figure que la courbe </ 123 4, dans laquelle le quart de sphère est coupé sur le plan vertical par le plan lumineux élevé sur d' h, produit deux points d'ombre t

et*, savoir : j comme le point d’ombre ded et «comme celui de t , parce que les deux points d' et 1 se trouvent sur le plan horizontal dans la projection d‘ 4 du rayon lumineux. On trouvera de la même manière r comme étant le point d'ombre de p, ti comme étant celui de e' et en outre que la courbe » r suk menée par ces points comme étant la limite d'ombre produite par le demi-cercle de.

Si d’autre part on mène de m une ligne parallèle kl, qui, prolongée, vienne couper en m' le quart d'ellipse d i 2 3 4 . alors m' sera le point d'ombre de met la portion d m' de l'ellipse sera l’ombre de la ligne droite d ni, parce que d' sera la projection de la ligne dm. Enfin on mènera , à partir de m . une courbe égale à °’rsuk, qui vienne couper celle-ci, et l’on obtiendra ainsi la portion de la limite d’ombre qui se trouve encore projetée par le demi-cercle supérieur mn sur le quart de sphère.

L’ombre dq, dans la surface cylindrique creuse dmne sera déterminée d'après le § 360.

§ 467. — Si dans ce problème les modifications que nous avons indiquées au § 464, trouvaient chacune séparément ou plusieurs à la fois, leur application ou bien si l'ouverture supérieure avait une toute autre forme, alors celle de l’ombre pourra changer, mais sa construction s’exécutera tout à fait d'après les princi|ieset les règles que nous avons posés.

§ 408. — On n'a pas jugé à propos de donner pour ce problème une figure spéciale qui représente un lavis, attendu que ce lavis sera facile à exécuter sans un modèle, d'après les règles données et en tenant compte de ce qui a été dit au §

§ 469. — Problème. — Construire l'ombre portée qui se forme sur la surface concave d'une niche de forme demi-circulaire, lorsque celle-ci est recouverte par une surface horizontale, qui se raccorJe avec la surface cylindrique par une surface courbe et est elle-rnéme percée par une ouverture rectangulaire ; enfin lorsque les rayons lumineux arrivent dans la direction delà diagonale d'un cube (fiy. 146).

Solution. — Si ou se représente d'abord que l'ouverture rectangulaire, D' m' n' F' n'existe point , alors on trouve les