TROISIÈME PARTIE

points d’ombre a, b, c, d, e et f, des points A, B, C, D. E e F, en tant qu’ils tombent encore sur la surface cylindrique, en suivant les procédés indiqués au § 462. Au contraire, le point d'ombre g, projeté par le point G, et tombant sur la surface de raccordement, se trouve, en traçant sur le plan vertical, la courbe d’intersection correspondant à G ' g' , qu’on coupe celle-ci par une ligne menée parallèlement à / de G en g. Si enfin on mène la tangente II parallèlement à / qui touche le quart de cercle G 1 en 11, alors u bcdefg 11 sera la limite d’ombre produite par la ligne A H. Mais si l'on admet l’ouverture D' m' n’ F’, alors on obtiendra, comme cela se voit dans la figure dm, comme étant l’ombre de la ligne D’ m', mon comme étant celle de m' o' »' et nf comme étant celle de n’ F’. On trouvera de même kk' o’ // ji, comme étant l’ombre de K O P, et de cette manière la limite d’ombre cherchée sera obtenue.

Comme les projections / et /’ des rayons lumineux forment dans le cas présent des angles égaux avec xy, alors la portion de la limite d’ombre qui est projetée par la ligne droite C G sera, d’après le § 362, un arc décrit avec E' A' du point E, pris comme centre, arc qui commencera en cet sera prolongé jusqu’à ce qu’il coupe la ligne Al.

.Nous devons enfui encore noter que ce qui a été dit au § 467 et 468 trouve aussi son application entière ici.

§470. — Problème. — Au-dessus d’une niche qui a la forme de celle de la (ig. 145, se trouve une niche plus petite, ayant la forme de la tig. 1 46 ; trouver l'ombre portée qui se produira sur les surfaces concaves. lorsque les rayons lumineux arrivent dans la direction de la diagonale d’un cube [/ig . 1 47, 1.)

Solution. — Comme la fig. 147 peut être envisagée comme étant la réunion des fig. 144, 145 et 146, alorsl'ombre portée qui se formera ici sera aussi en général trouvée, en suivant les procédés opératoires indiqués pour ces mêmes figures. Mais pour arriver par une voie plus abrégée à tracer la limite de l'ombre portée sur le quart de sphère de la niche inférieure, on pourra, pour le problème en question, suivre dans la plupart des cas, et sans commettre en cela des fautes sensibles, la construction simple qui suit :

1*4171 DO MSftlN .I OMKTRIQI K. 4i

330 DESSUS CÏOMÊTBIQVE.

On fera »r = a«, on mènera la ligne ar comme étant la projection du rayon lumineux sur le plan vertical , et avec cette ligne une tangente yz à l’arc hic, tangente qui touchera le même arc en n ; on reliera les points r et n sans construction préalable et à main libre par une ligne, en lui donnant la forme *SrJede la ligne limite de l’ombre portée trouvée dans la fig. 144, puisque l'on se représente le quart de sphère qui recouvre la niche comme étant complètement fermée, et ne présentant aucune ouverture, qui donne naissance & cette ombre sur la surface concave. Après quoi on mènera de b et h deux lignes droites parallèles à or, de telle sorte qu'elles coupent en q et o la ligne courbe qu’on vient de tracer, et on dessinera de nouveau à main-libre la ligne courbe qpo , aussi d’après la forme de la ligne *r$uk trouvée dans la fig. 145; l’on obtiendra ainsi la limite de l'ombre portée pour le cas où le quart de sphère aurait supérieurement une ouverture Concentrique. Comme la niche représentée ici dans la fig. 147, se trouve recouverte par une autre niche plus petite, qui projettera également une ombre sur le quart de sphère ; il faut, pour cette raison, que la forme de l’ombre portée entière apparaisse différemment que si la première niche était ouverte supérieurement. On cherchera donc d'abord l’ombre portée qui se forme dans la petite niche et que l’on trouve en menant d’après le § 469 , cl parallèlement à cg sous un angle de 45 degrés, et à celle-ci la parallèle d k d'une longueur indéterminée et en décrivant, à partir de c, avec le rayon bm l'arc ki, en traçant la ligne kl d’après la forme de la ligne abc (fig. 146), et en prolongeant la courbe de t jusqu'au point de contact f. Ceci fait, on -tracera , à partir du centre m de la petite niche et parallèlement à ar, la ligne vm p, qui coupera en p la ligne courbe opq (produite par l'ouverture concentrique du quart de sphère), et on reliera p et q par une courbe prq, qui sera une portion de l'ellipse correspondante quia été représentée dans la lïg. i 45 par d 1 2 3 4. Conséquemment, srqxpon sera sur la niche inférieure la limite de l’ombre et m/A i/celle sur la niche supérieure, et de plus jr sera l’ombre de l'arrête a' a, rq l’ombre de l’arc ab, qxp celle de la ligne droite bv, po celle l’arc de m et on celle de l'arc À