PREMIÈRE PARTIE

le rapport qui existe entre le diamètre et la circonférence du cercle était comme

rapport qui est , comme on le voit, composé de 35 décimales. Ce travail de Ludolph, fait à Leyde en 1616, fut publié plus tard par Snellius, dans un ouvrage traduit du hollandais en latin, et intitulé : de Circulo et adscriptis, 4, Leyde , 1619. D'autres mathématiciens ont étendu ce nombre de décimales, Schervin jusqu’à 72 chiffres, Joncs jusqu’à 100 , Machin jusqu’à 120, Lagny jusqu’à 127, et Véga même jusqu’à 1 40 (voyi ; les leçons mathématiques de ce dernier, t. 2, p. 3, a* édit.), il est évident que les efforts de ces savants ont produit plus qu’il n’est nécessaire dans la pratique, et que déjà les 7 premiers chiffres du rapport indiqué par Ludolph sont suffisants pour calculer avec une grande exactitude le rapport de la circonférence avec son diamètre, et vice rersa, attendu que l’erreur qui peut exister n'est pas la dixmillionième partie dudit dia-* mètre, et que, par suite, on peut se contenter d’un nombre décimal assez restreint.

Archimède, le plus ancien des écrivains connus qui se soient occupés de cette question, trouva que le rapport du diamètre à la circonférence était comme 7 : 22 (I). Adrien Métius, un contemporain de Ludolph, indiqua le rapport 113.: 355.

Si l’on compare maintenant ces deux rapports à celui fourni par Ludolph , et accepté comme réel pour tous les problèmes de ce genre, on trouvera 113 : 35b = 1 : 3,1415929... et 7 : 22 = 1 : 142857 1 ... Il ressort de ceci que le rapport donné par Métius s’approche beaucoup plus de celui de Ludolph que celui d'Archimède, puisque chez le premier la variation du

(I) Il y a à remarquer, à ce sujet, que l’on qualifie improprement ce rapport du nom de Rapport d’Archimède, puisque lui-mème dit qu’il r.c l'a pas indiqué comme le véritable rapport, lequel, suivant lui, se trouve compris entre les deux rapports 7 : 32 et 7 1 : 223.

nombre ne commence qu’au septième chiffre décimal, et que chez le dernier elle se manifeste dès la troisième décimale. Quoi qu'il en soit, ou se sert avantageusement du rapport 7 : 22 ; car lorsque dans la pratique il s’agit de construire une circonférence dont le diamètre est donné et exprimé jiar des chiffres, la simplicité de ce nombre se prête plus facilement à une solution prompte que les autres, et avec ce dernier on obtient d’ailleurs des résultats qui , dans le plus grand nombre de cas, sont suffisants pour la pratique.

§ 47. — Le diamètre d’une circonférence étant donné, il s’agit, à l’aide du rapport 7 : 22, de trouver, avec le compas et la règle, le contour de cette circonférence; on divisera, d’après les indications du § 20, le diamètre en 7 parties égales et l’on en portera 22 sur la direction d’une droite, ce qui donnera la longueur de la circonférence du cercle auquel appartient le diamètre. Est-il besoin de dire que l’on arrive encore plus promptement au but et qu’on obtient le même résultat si l’on porte d’abord la longueur du diamètre donné trois fois sur la ligne droite, puisqu’on ajoute à cette longueur une septième partie de celle du diamètre?

Voici encore un autre procédé pour obtenir, par une construction géométrique, le développement de la circonférence.

§48. — Proposition. Développer en une ligne droite la circonférence d’un cercle.

Solution. On élève en c, centre de la circonférence ad ba (fig. 8) sur le diamètre ab un rayon perpendiculaire cd. après quoi l’on porte la longueur du diamètre ab trois fois sur une ligne droite quelconque cg de e en f, de telle manière que ef =3 ai; on prend fg=z[ de ad, et ainsi la ligne droite eg sera alors la circonférence développée.

Preuve. Si l’on prend chaque fois le diamètre du cercle comme unité, c’est-à-dire si ab = 1 , ef sera alors = à 3. Il ne s’agit donc que de montrer de combien fg se rapproche de la fraction décimale encore fautive du rapport de Ludolph. Puisque ab = 1, ac sera égal à cd= ; = 0,5. Mais ad= l/Jâd' -j-dc ’); donc ad = 4/(0,ï5+0.2o)=K0.50=0.7ü7, et puisque fg = ‘,ad, on aura aussi [g — = 0,141...,

par suite ef +fy = eg — 3,141.

E'RKMIÉRS PARTIE.

Cette méthode de construction procure, dans le plus grand nombre des cas, une exactitude suffisante, et nous devons en recommander l'emploi à cause de sa simplicité.

Si l’on comparait maintenant cette manière de faire avec celle indiquée dans le § précédent, il faudrait que ‘ o d = {a b, ce qui ne se trouve pas par le calcul, car ; ad — 0,141, tandis que x ab — 0, 1 42 , différence qui n'est nullement appréciable dans le dessin, puisqu’on ne peut pas indiquer avec le compas une différence de t millième entre le diamètre et la circonférence, à moins que l’on ne se soit servi d’une échelle extraordinairement grande.

§ f9. — S'agit-il de développer une t/2 circonférence, un 1 /i de circonférence, ou n’importe quelle portion de circonférence, il est évident qu’alors on commencera par développer à l'aide d'un des procédés que nous venons de faire connaître, la circonférence entière en une ligne droite, et qu’on prendra ensuite sur celle-ci le nombre de parties nécessaires pour avoir l’arc qu’il s'agit de développer. Dans l’exécution chacun trouvera encore quelque moyen qui lui abrégera le travail, et il ne sera pas toujours nécessaire, par exemple, de rétablir toute la circonférence d'un arc du cercle qu'un veut développer.

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