DEUXIEME PARTIE

§ 63. — Puisque toute image d’un objet est produite par des lignes ou parallèles entre elles ou concourant en un même point, et qui déterminent ainsi la projection de cet objet, il s’ensuivra qu'il y aura trois cs|>èces de projections :

1* Si les lignes de projection sont parallèles entre elles, et viennent frapper à angle droit la surface du plan, la ligure qui en résultera se nommera une projection orthographique.

2" Si ces lignes sont parallèles entre elles , mais dirigées obliquement vers le plan, et si l’angle qu elles forment a environ 4b" , la ligure qui en résultera se nommera une projection oblique.

3° Enfin, si ces lignes se réunissent en un seul [H>inl, l’image de l’objet qui en résultera serji une projection perspective.

D’après cela on peut considérer chaque dessin géométrique comme étant la projection orthographique d’un objet, attendu que dans chacun de ces dessins les lignes visuelles ou de projection viennent frapper perpendiculairement la surface du plan. Pour figurer sur une surface un dessin géométrique , il sera donc nécessaire de connaître les lois et les règles à l'aide desquelles on peut représenter la projection orthographique ou la figure géométrique de chaque ligne, de chaque surface! et de chaque corps, quelle que soit, d’ailleurs, leur position par rapport à la surface du plan.

Nous ferons encore remarquer que l'on doit se représenter l’objet que l’on veut figurer comme étant situé au-devant ou au-dessus du plan et comme ayant des dimensions réduites, car, dans le plus grand nombre des cas, il est impossible de figurer cet objet avec scs dimensions réelles; et en second lieu, que la distance de l'objet aux deux plans ( c'est-à-dire à l’horizontal et au vertical), ne peut d’aucune manière modifier la forme et l'étendue de l’image , puisqu'elle n'est pas tracée sur le plan à l'aide de lignes divergentes..

§ 64. — C’est en suivant les préceptes de la géométrie descriptive, préceptes qui sont les fondements de l’étude du dessin géométrique , et que Monge le premier a enseignés, que l'on est parvenu à connaître les méthodes à l'aide desquelles on peut figurer, par des constructions, sur un plan, un corps situé dans l'espace. Dans les paragraphes suivants, nous ferons

TRAITi DU DESSIN CKOMKTIUQL'g. 7

d'abord connaître les notions préliminaires pour l'élude de la projection , et qui doivent être considérées comme indispensables pour comprendre la' solution des problèmes ultérieurs de la géométrie descriptive, desquels il sera question plus loin. Si nous nous servons encore dans le cours de cet ouvrage du mot seul de projection, on devra toujours entendre par là une projection orthographique.

§ 64. — Soit m « n p {/ig. 10) le plan de projection horizontale , représenté ici en perspective cavalière, et soit f un point placé au-dessus de lui dans t'espace, à une distance quelconque. Que du point /'on abaisse sur m n o p une perpendiculaire qui vienne le rencontrer en un point, p par exemple , alors c sera la projection du point f, et l’on voit, par conséquent, que la projection d'un point est de nouveau un point, quelle que soit d'ailleurs la position du premier sur la perpendiculaire f {'.

§65. — Soit, d'autre part, une ligne droite ab (/ig. 10) située dans l'espace au-dessus du plan mnop, et perpendiculaire à sa surface, il sera alors clair que la projection de cette ligne droite sur le plan sera aussi un pointe, point qui proviendra de ce que depuis la ligne a à on aura prolongé une perpendiculaire à c jusque sur le plan mnop, ligne qui ici doit se trouver dans le prolongement de n b. Un point peut donc aussi cire la jn-ojcclinn d’une ligne droite lorsqu'elle sera fierjicndiculaire à la surface du pion, quelle que soit d’ailleurs la longueur de celte ligne.

Mais si on admettait que la ligne droite a b se meuve autour du point b, de telle manière que le point b reste tixe, et que le point a , au contraire, décrive un quart de cercle et arrive successivement en a', a’ et n". Si de ces points n’, a’ et o"’ on abaisse alors sur m n o p des perpendiculaires a’ c' , a ' C, et a ” c" , on aura ce' qui sera sur le plan, la projection de b a", ce" celle de ba' , et ec celle de lia , laquelle dernière doit être parallèle et égale à ha". Quant aux lignes cc’ , ce" , elles sont plus petites que a b.

11 découle de ceci que l’image d'une ligne droite projetée sur un plan sera toujours plus petite que la ligne qu'elle représente, si celle-ci a une position inclinée vers ce plan, et

DKÏ'XIKME PARTIS.

que cette image deviendra troujours plus petite plus l'angle d’inclinaison de cette ligne s’approchera davantage de l'angle droit, jusqu’à ce qu’enfin elle soit Égale à 0 ou apparaisse sous la forme d'un point , lorsque l'angle sera devenu = 90‘.

Au contraire, rimagegéométriqued’une ligne droite projetée sur un plan sera égale à la ligne elle-même si celle-ci est parallèle à ce plan. Dans ce casaussi , l’image de la ligne aura atteint son maximum d’étendue; en ellct, la projection ce' de la ligne ah deviendra de nouveau plus petite que cette ligne si cette dernière continuait à se mouvoir et arrivait en a', etc.

Nous avons, d’ailleurs , admis pour cette figure que la ligne ab' ' ' était parallèle avec a p, un des côtés du plan m n o p ; c’est aussi pourquoi la projection de cette ligne , c’est-à-dire cc" . se trouvera être parallèle avec p o. Les ligues c c' et c c* se trouvent dans les mêmes conditions, mais elles doivent chaque fois rester dans la ligne c c elle-même, lorsque le mouvement de la ligne ab a lieu comme ici autour du point b dans un plan.

§ 06. — En général , dans une projection orthographique , l’image d’une ligue ne pourra jamais être plus grande que cette ligne elle-même , mais plutôt plus petite. En cfTct , la plus grande longueur que la projection d'une ligne puisse atteindre, est égale , comme nous venons de le voir dans le paragraphe précédent , à celle de la ligne à projeter elle-même.

Si on admet, au contraire, que les lignes à l’aide desquelles l'image d'une ligne quelconque est représentée sur un plan ne sont pas perpendiculaires à ce plan, tout en restant parallèles entre elles, dans ce cas l’image al de la ligne a b (fiij. 11) pourra bien devenir plus grande que celte ligue elle-même; mais alors aussi acd et bed ne seront plus des angles droits, et en définitive cd ne sera plus la représentation géométrique de ab, de laquelle seule il doit être question ici et dans les paragraphes suivants.

Il va sans dire que , dans le cas où l'on opère d'après une échelle de proportion , la projection orthographique d’une ligne dont la véritable grandeur est 4, par exemple, ne pourra jamais être 5 ou 6, mais bien 3, 2 , et même quelquefois 1 point.

§ 07. — La projection gli d'une ligne courbe abc(fig. 10 a) qui se trouve dans le plan qrst, lui-même perpendiculaire au

plan mnop (projection que l'on a obtenue parles perpendiculaires dg et fh) , est aussi une ligne droite. Si l'on admet que cette courbe se meut autour de a , de telle manière qu’elle atteigne successivement les positions a b'c' et a b’ c', sans quitter toutefois le plan qrst, alors les projections ec’ et ec' . qui sont déterminées par les perpendiculaires ae, c' c et c * e\ seront , à la vérité, plus grandes que g h. mais seront encore toujours des lignes droites.

Si la ligne al/c , au lieu d’être une courbe, était une ligue brisée ou mélangée , c'est-à-dire composée de la réunion de plusieurs lignes droites et courbes, mais se trouvant toutes sur un même plan , les choses se passeraient encore ainsi pour leur projection. Ainsi, l’image géométrique d’une ligne courbe, brisée ou mixte, placée, dans un plan perpendiculaire au plan de projection, sera donc toujours une ligne droite, située à l'intersection des deux plans. Si ces lignes se trouvent, au contraire , dans un plan parallèle au plan de projection , alors leurs projections seront égales aux ligues elles-mêmes. Nous ferons bientôt connaître le moyen le plus simple pour produire de semblables projections.

§ 68. — Si un plan abcd ( fig . 10 b), situé dans l’espace, a une position parallèle avec la surface du plan mnop , dans ce cas, efgh, qui est l'image ou la projection de ce plan que l'on a obtenu eu abaissant des angles du plan abcd les lignes ne, bf, cg et dh, perpendiculaires à mnop, sera, par des raisons très faciles à prouver, exactement aussi grand que abcd. Si ce plan abcd se meut autour de a d, cl arrive, par exemple , dans la position de a b'c’ d , dans ce cas son image ou sa projection cf'g'h sur le plan mno (image que l’on obtient également en abaissant les perpendiculaires ne, b’f, c'y' et dh), sera plus petite que la surface a b’ c'd elle-même. Si ce plan se trouvait dans une position perpendiculaire ixmnop, soit al/’ c'd, dans ce cas sa projection sera une ligne droite lie. Si ce plan continuait à se mouvoir, et s’il atteignait , par exemple , la position île ab c 'd, par rapport à mnop, dans ce cas son image efgh, qui est produite par les perpendiculaires ae, bf, c g" et dh, sera de nouveau plus grande, et dans la continuation de ce mouvement de rotation du plan en question , son image