CHAPITRE II

Dr la projrrtlan dn ligne» droite» , de» «tirfare» plane* f( de* eorp» limité* par de* naarfaee* plaae*.

§ 79. — Lorsqu'il s'agit de projeter des lignes , des surfaces et des corps, il finit avoir égard à la position qu'ils peuvent avoir par rapport au plan de projection : ils peuvent, en effet, lui être parallèles, perpendiculaires, ou former avec lui un angle oblique ; c’est pourquoi aussi, dans les profitions relatives à l’étude de la projection , on aura surtout à déterminer les formes que. ces lignes, ces surfaces ou ces corps à projeter devront recevoir dans la figure géométrique.

Rappelons, avant de passer outre, ce que nous avons déjà dit relativement à la représentation des ligures situées dans un plan , et qui n’offrent , par conséquent , que deux dimensions, c’est qu’il est évident qu’elles apparaîtront sur le plan de projection auquel elles sont parallèles , dans leur forme et leur grandeur naturelle, et sur celui auquel elles sont perpendiculaires, sous forme de lignes droites, ainsi qu’on a pu le voir dans la fig. 10. b. Ceci s'applique naturellement à la projection des surfaces qui forment les limites d’un corps. Nous ne nous étendrons donc pas davantage sur ce sujet, car on trouvera, dans ce qui a été dit précédemment, des règles suffisantes pour leur exécution facile. Dans ce qui va suivre, nous nous occuperons d’une manière plus spéciale à faire voir comment on peut parvenir à trouver les projections des lignes, surfaces et corps qui ont une position inclinée par rapport à un ou deux pians de projection. «

DESSIN SROUKTHIQIF.

§ 80. — Soit m no p (fiy. 15) le plan de projection verticale. ou mieux le plan <f élévation, et opqr le plan de projection horizontale au le plan / proprement dit, o p la ligne de terre, no r un angle droit, et a g une ligne droite donnée dans l’espace ; d’après la fig. 10. e g sera la projection de cette ligne sur le plan vertical, et il g celle sur le plan horizontal, en présupposant (pie les lignes de projection o c et ad sont perpendiculaires aux plans de projection. Mais a g est eu même temps la diagonale du rectangle a f g d, et comme ce rectangle forme avec mno p un angle aigu i fa , alors les cédés a /'et d g (dont les lignes e f et h ij sont les projections sur m n o p) ont une seule inclinaison vers m u o p ; au contraire , la diagonale a ij du rectangle a f g d , a comme telle une inclinaison double vers le plan vertical m n o p. Si l'on considère d’autre part la ligne a ij comme étant la diagonale du rectangle a c g c, elle aura de nouveau comme telle une double inclinaison vers opqr, tandis que a c et e g n’ont qu'une seule inclinaison vers ce plan, n g sera dans ce cas une ligne doublement inclinée vers ces deux plans de projection. Mais la diagonale u li du rectangle a e h d, dont e b et h d sont les lignes de projection , n'a qu’une inclinaison vers les plans de projection, parce que a c d h est placé perpendiculairement à ces deux plans.

Si par la pensée on joint à ces plans coordonnés un troisième plan m p g s, alors, d'apres ce qui a été dit, la ligue k p sera sur celui-ci la projection de a g , et cette ligne a ij, en tant qu’on la considère connue étant la diagonale des rectangles afgd ouae </c(desquelIe ik I p est la projection), aura aussi une inclinaison double vers m p q s.

§ 81 . — S’agit-il de ne représenter un objet que sous deux points de vue ; par exemple , sur le plan horizontal et sur le plan vertical ou d’élévation, dans ce cas, o p q r et nt n o p seront les deux plans coordonnés, et o p formera la ligne de terre qui sépare ces deux plans. jLalignr verticale mp drevra, au contraire, être considérée comme la ligne de terre , s’il s'agit de figurer les vues antérieures et latérales de cet objet , et p q la ligne de terre, s'il s'agit de figurer les vues d’en haut et latérales. Dans les cas même où il n’est question que de deux vues, on

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devra cependant admettre parla pensée le troisième plan . même quand il n’est pas nécessaire de s’en servir pour tracer une projection , attendu qu’il n’est pas rare qu’il devienne très utile pour la détermination exacte de certains points , ainsi que nous allons le voir.

§ 8 i. — Soit x y [fiy. 16). une ligne de terre «pii sépare, d'après ce qui a été dit au § 78 , les deux plans de projection, de telle manière qu'il faut se représenter ces deux plans comme étant perpendiculaires l'un à l'autre , et par suite ne |K>uvant pas être placés dans la réalité sur un même plan; soit, d’autre part, A B, la projection d’une ligne droite donnée dans l’espace parallèle au plan de projection verticale, mais «pii l'orme l’angle * avec le plan de projection horizontale : on trouvera alors la projection A’ B' dans ce dernier , si l'on aliaisse des (toints A et B sur la ligne x y les perpendiculaires A E et B F , et qu'on les prolonge jusqu’à ce qu'elles coupent en A' et B’ la ligne V W. Cette ligne est parallèle à x y , puisque la ligne donnée dans l'espace doit être parallèle avec le plan vertical , et A' E donne la distance arbitraire ou déterminée de la ligne donnée A B au plan vertical, ou. ce qui revient au même, da distance de la ligue A' B' à la ligue de terre x y.

Si l’on donne maintenant à celte ligne A' B' la position de a ■ b' dans le plan horizontal , mais de telle manière que a' b' = .V B’ , cl que a' b' forme un angle s avec x y ; si l’on élève, d’autre part, dans les points «' et l>' des perpendiculaires sur xij, et si on les prolonge supérieurement jusqu’à ce quelles soient coupées en a et b par les lignes horizontales menées de • A et B , dans ce cas , a b est la projection d’une ligne qui a une position inclinée double aussi bien à l'égard du plan vertical que du plan horizontal, puisque par exemple elle est inclinée vers le premier plan non-seulement de haut en bas, mais encore d’avant en arrière et de gauche à droite, comme cela a été le cas pour la ligne u y de la ligure précédente.

L’exactitude du procédé employé pour la recherche de a b est très facile à comprendre, lorsqu'on songe que la position changée de la ligue A’ B' dans le plan horizontal (attendu qu’on la transporte en a' b' ) peut bien avoir une iniiuence

fit DESSIN GÉOMÉTRIQUE.

sur la dimension horizontale, niais pas sur les dimensions verticales. En effet, si primitivement A' B' = B K , et si l'on se représente le triangle rectangle ABK tourné autour de AK ; alors, dans ce changement de position du triangle , par rapport au plan vertical, le côté A A devra être, dans la projection de ce plan, plus petit que a' b' , et d'autant plus petit que l'angle S se rapproche davantage de l'angle droit. Mais le côté a k restera égal au côté A K, et les points a ci b resteront aussi dans le même éloignement de x y ou du plan de projection horizontale que les points A et B; c’est-à-dire il faut que bf = BF et que ae — A E. Si l’angle = 90 degrés, alors la projection du triangle apparait comme une ligne droite a A = A K.

Si l’on compare encore cette ligure avec les précédentes , «1 verra que l'angle * est conforme à l'angle agd [/iy. 15 ) . l’angle s avec l’angle h y d , et l’angle ij avec l’angle ctjb.

§ 83 . — Problème . — Etant donné, les projections a b cl a' b' (fiy. 1 6 ) d’une ligne doublement inclinée dans l'espace, trouver la longueur réelle de cette ligne et l’angle qu’elle forme avec le plan de projection horizontale.

Solution. — Tirez sous x y, à une distance quelconque, une ligne Y W parallèle nxy, et faites sur elle A’ B' = a' b'.

Par les points A’ et B' menez des perpendiculaires à xy, et prolongez-les jusqu’à la rencontre de deux horizontales menées par les points a et b jusqu'à A et B : vous aurez alors A B qui sera la véritable longueur de la ligne, et * l'angle qu'elle formera avec le plan de projection horizontale.

§ 8i. — Si l’on se représente le plan placé au-dessous de x y comme étant réellement perpendiculaire au plan situé audessus de celte ligne , et si par la pensée on élève sur les deux lignes a' b’ et a b des plans perpendiculaires à ces deux plans de projection , dans ce cas , ces plans se couperont dans l’espace suivant une ligne, qui est égale à AB, et qui marquera dans l’espace les lignes dont u b et a' b' sont les projections ; de même les deux plans a ege et u fg d ( fiy . 15), qui sont élevés perpendiculairement à cg ci dy sur m n o p et o p g r , se couperont là même en a g , et donneront naissance par là à la ligne dont c g et dg sont les projections.