DEUXIÈME PARTIE

§ 85. — Soient deux perpendiculaires élevées dans un point quelconque Cde la ligne A B (/ î . IG), dont l'une CD est parallèle au plan de projection verticale, mais dont l'autre est perpendiculaire à ce plan , et apparaisse par suite sous la forme d'un point C dans le plan de projection verticale; alors C’ D' sera 1a projection de CD sur le plan de projection horizontale, et C G celle de l’autre perpendiculaire, dont la longueur devra être égale à C’ G. Si l’on fait c' d' = C' D' et c' g" = C G, et si l'on emploie le procédé duquel on s’est servi pour trouver la ligne n b, c’est-à-dire en élevant sur la ligne xy des perpendiculaires aux points c' , d' et g' , qu’on les coupe en c , d , g' par des horizontales partant de C et D, alors cd et cg seront sur A B la projection des perpendiculaires C D et CG en question, quoique ici elles ne forment point avec la ligne al> d'angle droit. Il y a encore à remarquer ici que cg est la projection d'une ligne à inclinaison simple, taudis que cd est celle d'une ligne doublement inclinée par rapport au plan de projection verticale, parce que la ligne figurée par C, dans le mouvement qui a lieu ici, reste parallèle au plan de projection horizontale, et que CD, an Contraire, dans ce même mouvement, est inclinée ver les deux plans (1).

§ 86. — Problème. — Tracer sur un plan de projection verticale la projection d'un carré m il o p [fig. 17) qui se trouve dans un plan perpendiculaire au plan de projection horizontale.

Solution. — D’après les indications données au § 67, la projection du carré sur le plan horizontal apparaîtra sous forme de ligne droite. On tracera donc au-dessous de xy, à une distance quelconque de cette ligne, le cadran BD B' de

(I) Nous fixerons l'attention du lecteur d'une manière toute particulière sur les paragraphes 80 à 85, attendu qu'ils :ont le fondement du plus grand nombre des problèmes suivants. Si on les a exactement saisis et compris, on se facilitera et abrégera la solution des problèmes de ce chapitre. De même un examen attentif de la figure 15 fournira encore d'autres considérations très intéressantes relatives aux projection de» lignes, des surfaces et deangles.

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66 DESSIN GOMriTOIQUE.

telle manière que BD soit parallèle k x y , que B'D soit, au contraire, perpendiculaire k x y, cl que B' I) forme avec xy un angle quelconque , et l'on considérera ces lignes comme étant les diverses projections du carré m n o p sur le plan de projection horizontale. A cet effet, on fera B D = n p ; on partagera BD au point A en deux parties égales, et l’on décrira le quart de cerclo A A’ A’. Si on raèue ensuite des points B, A, D, B' et A’ des perpendiculaires à x y, et si on coupe ces ligues au-dessus dc*ÿ dans les points correspondants par des lignes horizontales , alors a b e d sera la projection du carré qui est parallèle au plan vertical , a' b' c' d ' la projection du carré incliné vers ce môme plan , et a" d c' la projection du carré perpendiculaire à ce môme plan. 11 est évident que m n u p peut être une ligne brisée ou bien être une surface. limitée par ces lignes.

* L'exactitude de cette manière de procéder est rendue évidente par ce qui a été dit précédemment , attendu que dans le Changement de position du carré sur le plan horizontal , les distances horizontales peuvent seules être changées sur le plan vertical , tandis que les distances verticales k xy doivent toujours rester les mômes.

§ 87 . — Comme a b c d c st égal k m n o p { fiy. 1 7), lorsque sa projection B D est parallèle k x y , il s'ensuit que les angles correspondants b a d et n m p , a b c , et m n o , etc. , seront égaux entre eux; ce qui veut dire, en d'autres termes, que si la fiyure à projeter est parallèle au plan de projection , les anyles de la fiyurc projetée seront entièrement semblables à ceux qui sont dans l'espace, peu importe que ces angles soient aigus , obtus ou droits.

Au cas contraire , si la ligure à projeter se trouve inclinée au plan de projection , alors, en même temps que la figure change d’aspect, la grandeur de l'angle change aussi , et ainsi l'angle b' iv d (fiy. 17) sera plus petit que l'angle b ad , parce que a' c' est resté égal à «c, tandis que l>’ d est devenu plus petit que b d. Cet angle deviendra naturellement toujours plus petit , plus le point B’ se rapprochera du point B' , et il dis— paraîtra complètement et sera égal à zéro lorsque B D sera arrivé en B' D. Par contre, l'angle a b c deviendra d’autant plus