DEUXIEME PARTIE

grand que le point B se rapprochera davantage du point B', et ainsi , par exemple, l'angle a' b' c’ sera plus grand que l'angle abc, malgré que a' c’ soit resté égal à ac, b' e' au contraire est devenu plus petit que b c. Enlin , si B D atteint la position de B’ 1) , l'angle abc sera alors égal à 1 80 degrés.

Ce qui vient d'être dit des angles h a il et abc peut aussi s'appliquer aux angles b cd et abc. Si mnop, et par suite abcd, n'étaient point des carrés, et si en même temps b a d , abc, etc., n'étaient pas des angles droits, ce que nous venons de dire , n’en resterait pas moins vrai , et dans le mouvement de BD admis ici, l'angle b ad deviendra aussi toujours plus petit et abc toujours plus grand, jusqu'à ce que le premier soit égal à 0 , et le second égal à 1 80 degrés , si B' I) forme un angle droit avec .r g ; on pourra aussi employer pour la solution le procédé indiqué au § 86.

Mais il y a à remarquer que l'angle droit ne change pas toujours de grandeur dans sa projection, si le plan sur lequel il se trouve a une position inclinée par rapport au plan de projection , et qu'il ne change pas , si le mouvement du plan se fait de telle sorte qu’un des côtes conserve une position fixe et parallèle au plan de projection , et que l'autre côté , au contraire, forme avec ce plan un angle quelconque.

Pour se convaincre de la vérité , de cette assertion , admettez que la surface a bed (fit). 10, ô)soil un rectangle , que abc, bed, cd a et dab soient des angles droits, alors nonseulement cfg, fgli, ghe c t hef, mais encore epg' , f' g' h, g' b e et à c p seront des tint fies droits , quoique a b' c d ait reçu une position inclinée vers le plan de projection mnop.

§ 88. — mno p ( fig. 1 7 ) est un carré, et a bed en est un autre qui lui est semblable et semblablement placé ; par conséquent, les lignes correspondantes sont parallèles entre elles. Il sera encore facile de démontrer, par la similitude des triangles de la ligure, que dans la projection a' b' c' d' les côtés correspondants seront parallèles deux à deux, et il suit de là que les projections de lignes parallèles entre elles sur un et même plan sont de nouveau des lignes /mral/èles , peu importe du reste

que les lignes données soient parallèles au plan de projection, ou qu’elles ne le soient pas.

§ 89. — Si on choisit sur le plan mnop ( fig . 1 7 ) un point quelconque g , et s’il s'agit de déterminer la projection de ce point sur le plan a' b' c' d ,'on mènera alors g h perpendiculairement îi x y , on fera A' H = oh, on élèvera au point H sur x y une perpendiculaire, et on fera au-dessus de xy, g' H' — g h, et g' sera le point cherché. Al’aide du même procédé, on parviendrait à trouver la projection de tout autre procédé, par suite celle d’un système de points ou celle d’un polygone , si celui-ci a une position inclinée vers le plan. Dans le cas présent, l’angle b ’ g' a' est la projection de l’angle » g m.

Enfin , il y a encore à remarquer qu’en général la construction reste la même , si le polygone se trouve dans un plan perpendiculaire au plan de projection verticale, et incliné au contraire sur le plan de projection horizontale, ainsi que cela sera rendu sensible dans le problème suivant.

§ 90. — Problème. — Un hexagone régulier abc de / (fig. 18) se trouve avoir d’abord dans l’espace une position telle qu’il est perpendiculaire au plan de projection verticale , et se projette sur ce plan suivant la ligne yk , tandis que sur le plan de projection horizontale, le plan de polygone est incliné suivant l’angle » ; il s’agit de faire voir quelle serait la projection de cet hexagone sur ce second plan, puis sur le premier , lorsqu’il change sa position primitive dans l’espace , et reçoit , par rapport à ses plans de projection , une inclinaison double.

Solution. — A une distance quelconque de la ligne x g on mène une parallèle d' a' ; des points g, h, i et k, on abaisse sur xy des perpendiculaires, on détermine par là les points «’,//, c', d', c' et f, en faisant c' c' = c e et b' p = b f, et en les joignant par des lignes droites; de cette manière, a' b' c' d' e' f sera sur le plan de projection horizontale la projection de l’hexagone.

Puis on trace l’hexagone a' b' c' d' c' p dans une position telle , par rapport à xy, quejla ligne d' a ’ (que l’on fait égale à d' a'), forme avec x y un angle ? , et que a’ b' c' d ’ c’ /• soit en tout semblable à «’ b' c' d' e' P . Aux points «’ b’ c’ tf e' p