DEUXIÈME PARTIE

on élève des perpendiculaires vers x y , el on les coupe au delà de cette ligne en A, B, C, D, E el F par d'autres lignes que l’on mène de g, h , i et fc parallèlement !ixy; alors A B C D Ê F sera la projection cherchée sur le plan de projection verticale de l’hexagone régulier à double inclinaison.

§ 91. — Si pg esl une perpendiculaire élevée au centre de l’hexagone, p' q' sera alors sa projection sur le plan de projection horizontale, et P Q sera, sur le plan vertical, la projection de la ligne il inclinaison double trouvée par p’ q' et p q.

§ 92. — Problème. — Un rectangle et un triangle dont les projections sur le plan vertical sont représentées par les deux droites AB et CE ( fig . 19), se coupent suivant un angle quelconque ADE; il s’agit de trouver sur le plan vertical la projection de ces deux surfaces, quand leurs projections sur le plan horizontal sont ligurées en M , et en outre, quand les deux ligures sont inclinées par rapport à leurs deux plans de projection.

Solution. — On commencera d’abord par tracer la figure projetée en M , dans laquelle A’ A’ B’ B’ est la projection du rectangle , et C* C’ E’ celle du triangle (les distances B’ B’ et C’ C’ sont ou données ou arbitraires). On transporte ensuite ces figures dans la position exigée par rapport à xy, de telle sorte que a', a', b', b' = A’ A'" B' B, et c' c’e' = C' C' E’; et l’on cherche ensuite sur le plan vertical, et d’après les procédés connus , la projection des points a’, a", b' , b', etc. ; et ainsi , a * S sera la projection du rectangle, et e y c celle du triangle, d i est la ligne d’intersection des deux plans, figurée dans les deux vues d’en haut par les lignes D’ D' et d' d’.

§ 93. — Si le rectangle représenté par A B en M {fig. 20) a une position perpendiculaire au plan de projection verticale, et si le triangle CDF.au contraire a une position perpendiculaire à ce plan , alors la projection horizontale du premier fig. N apparaît sous forme du rectangle A' A’ B' B' , tandis que celle du second apparaît sous celle d'une ligne droite E’ C’. l.a portion G’ F' de celle-ci est la projection de la ligne d'intersection G F [fig. M) des deux plans. Si on transporte la projection horizontale fig. N en fig. O, par rapport à la ligne de terre, de telle sorte que a' a' b’ b ’ = A’ A* B' B' ,

t-0 DESSIN r.ÉOMÉTRIOl'E.

et que e' c' = E' C’ , on trouvera ( en suivant la voie suivie pour la représentation des figures précédentes), dans la fig. P, le parallélogranie “fi b romme étant la projection du rectangle , le triangle c de comme celle du triangle CI) E , et la ligne /'y comme étant la ligne d'intersection des plans dans la projection P. La construction à employer ici est suffisamment indiquée par les ligures mêmes , et on a en outre conservé aux points la même accentuation que dans les autres ligures, de 6orle que l'on n’a pas besoin d’ajouter d’explications plus détaillées.

§ 94. — Les corps sont limités par des surfaces. On vient de voir dans les paragraphes précédents comment on trouve les projections des surfaces planes ; par suite, on trouvera celle des corps limités par des surfaces planes , puisqu'on peut considérer ceux-ci comme un assemblage de plans. Comme, d’un autre côté , les plans sont limités par des lignes qui, à leur tour, sont déterminées par des points, il s'ensuit que la projection des corps sera déterminée par celle des points lorsqu’on commit la position de ceux-ci sur les deux plans de projection.

§ 95. — Problème. — Un parallélépipède ayant une position parallèle au plan de projection horizontale, apparait par suite sur le plan horizontal sous la forme d’un rectangle abcd {fig. 2 1 ) ; il est au contraire incliné vers la surface du plan de projection verticale , et forme avec ce plan ou avec la ligne de terre xg l’angle z. Soit encore c\f, la hauteur du corps; il s’agit de trouver la projection verticale de ce corps.

Solo lion.— Des points a,b,celd on élève sur x g des perpendiculaires, et de c on mène une parallèle x ;/; et B D’ sera alors la projection demandée dans laquelle les mesures de longueur et de largeur paraissent raccourcies , tandis que celle de la hauteur est restée sans changement. Il est évident que le raccourcissement dépend de l'angle z, et que les mesures hc et ad sont dans un rapport direct avec la grandeur de l'angle, et ab et cd dans un rapport inverse.

§ 96. — Proposition. — Soit ABCD {fig. 22, M) tint; des faces d’un parallé!ipi|>ède, parallèle au plan de projection verticale, et inclinée au contraire au plan de projection horizontale;