DEUXIÈME PARTIE

reste toujours fixé sur le grand axe de l'cllipsc , et le point e' sur le petit axe de cette ellipse, ainsi que nous l'avons figuré par des lignes ponctuées dans la lig. A. Il va sans dire que l’on pourrait aussi bien employer les points i , f. ot tj de la petite carte que les points a' , h et e' desquels on a fait usage ici pour le tracé de l'ellipse.

(/•retire). — Il s’agit de montrer que la courbe, tracée à l’aide du pointa' de la ligne n' c' 29 },esl une ellipse, t,i cotte ligne se meut, en ayant son point h' sans cesse fixé sur le grand axe, et son point c' sur le petit axe de l’ellipse, et lorsque a'e' est égale à la moitié de la longueur du grand axe, et a' h' à la moitié de • celle du petit axe.

Ou élève (/«/. A) sur nh la perpendiculaire a'n, et on mène u ni parallèlement à nb.

Eu supposant a n — y.

a m — ne — x.

cl a h' =b.

on aura a a e m “> a h' c'c .“ a a h n.

donc a è : h e = à m : h e.

et a li :h c^jfl n:ee .

Si dans les deux proportions on met les valeurs ci-dessus :

on aura a: a — b=x: H e.

et b:a — b~ y : eé.

mais de là h e = x et e e = -p‘ y

et comme (lie) • = (K e)’ + (eé)

on a (a— by=(L±)‘x‘ + 'J'-

ou { n — b) ’a'b'=(a — b)’b’X' + (a — b)’ a’ y' donc * ’•/ ' =a ’b‘— b'x' par suite n’ b'=b’ x 1 + x '7 • en définitive (a~ — x').

Ceci étant, par rapport au point central e, l’équation d’un ellipse pour la moitié du grand axe a ' e', et pour la moitié du petit axe a’ h ; alors a' est un point de l’ellipse, et ceci pouvant

SU DESSIN GËüMÉTRlgl't:.

s'appliquer à tout autre point a', il s'ensuit qu’à l’aide du procédé indiqué on parvient toujours à tracer une ellipse.

§ 10j. — En général, il y a encore à remarquer, que si l'on l>rolonge d'une quantité égale les deux extrémités des axes d’une ellipse et que l’on décrive une nouvelle ellipse par la méthode cidessus, celte nouvelle ellipse ne sera nullement jiarallèle à la première, attendu qu’il est tout-à-fait impossible de tracer deux ellipses parallèles, et si les circonstances exigeaient que l’on traçât de pareilles courbes parallèles entre elles, comme, par exemple, pour la construction d’une voûte elliptique également épaisse en tous sens, dans ce cas, la ligne extérieure sera une courbe différente de celle de l’ellipse intérieure, et réciproquement.

§ 100. — Problème. — Si la droite A lî (fitj. 30)est la projection d’une circonfêrau e qui est située perpendiculairement au plan de projection verticale, et qui forme, au contraire, l’angle a avec le plan de projection horizontale ; il s’agit de trouver sur ce dernier plan la projection de celte circonférence.

Solution. — On choisit des points quelconque, tels que D,E, par exemple, et on détermine , par des perpendiculaires abaissées des points A, E,C,D, élit sur la ligne a Amenée parallèlement à xy, les points (i. n,o,nt et A; on décrit par A Bun cercle, l’on fait ne — n e = EE” , o c=oc— cc' ' et ni d — m il = D IV ' , on relie ensuite ces points «,e,e,rf par une courbe, et l’ellipse aebea sera la projection du cercle. En effet, si l’on représente le cercle figuré l>ar AB rabattu, auquel cas il apparaît sous la figure du cercle Ai'BC’,on obtiendra par là la longueur des cordes passant par 1) et E, et ensuite la longueur des cordes correspondantes ce et <ltl, par lesquelles les points de l'ellipse ont été déterminés.

Mais cc étant là le plus grand axe de l’ellipse et nl> le plus |>etit,et comme ces deux axes sont faciles à obtenir à l’aide de A B , puisque a b est la projection de A B, et que cc doit être égal à AB, (parce que cc donne la longueur réelle du diamètre représenté par c);on arrivera alors plus promptement au but, en ne cherchant que ces axes et en employant une des méthodes indiquées plus haut, § 104, parmi lesquelles la troisième est la meilleure, comme nous l’avons fait remarquer.

, § 107. — Problème. — Tracer la projection d’un cercle

DEl'.XIÈME PARTIE.

iloublemenl incliné an plan de projection verticale . lorsque le diamètre AB(/ig. 30) de ce cercle et les deux angles d’inclinaisons » et s avec les plans vertical et horizontal sont donnés.

Solution. — On cherche d’abord, comme dans le paragraphe précédent, la projection uclica du cercle sur le plan horizontal. Ceci a-t-il été fait suivant les indications du § 104, un choisit sur A I! les points arbitraires D et E, et on déterminé

leur projection dans l’ellipse, savoir en e, il alors ou trace

cette ellipse au-dessous de xy en passant par tous ces points, lui donnant relativement à cette ligne xy une position telle que son jtelit axe b' a forme avec x y l’angle s, ou élève des points a',c',c\d', etc. , des perpendiculaires sur xy, et on coupe leur prolongement par d’autres lignes horizontales, menées de A. E,C. D, en A', E’,C\ D’ ; si enfin on relie ces points par une courbe, on aura trouvé la projection demandée. En effet, les distances verticales de ces points à la ligne xij sont restées égales à celles de leurs points correspondants sur Al>, et leurs distances au plan de projection verticale ont été données par la projection horizontale , la position de celle-ci ayant été déterminée par l’angle K

§ 108. — La projection d’une ellipse étant de même une ellipse ( à moins qu’elle n’apparaisse sous la forme d’une droite ou d'un cercle, et nous en parlerons plus loin ) , alors A' ,C ,lî , .C , A , sera aussi une ellipse ; toutefois, ni A’ B sera sou grand axe, ni cc son petit axe. S’il s'agissait d'indiquer ces deux axes, voici comment il faudrait procéder : ou tracerait, suivant les indications du paragraphe précédent, l’ellipse«e/)C ; par son centre d ,on tirerait une ligne/' ;/ parallèle à xy: des points f et ij. on mènerait les deux perpendiculaires/’/) et y y sur xy, avec une ouverture de compas égale à AC, on décrirait de o comme centre les intersections de ces perpendiculaires en F et G ; par là. FG sera le grand axe demandé. Car, puisque fij a été mené parallèlement it xy, il s'ensuit que la ligne FG, qui se trouve dans un plan perpendiculaire passant par f g, sera le diamètre lui même du cercle à projeter, diamètre qui est parallèle à ce plan de projection verticale, c'est pourquoi il devra se projeter dans sa véritable grandeur.

TlUfTK D« D1SSIX UKOMSTMQei. f I

Mais pour trouver la longueur du petit axe de cette ellipse , qui doit se trouver placé perpendiculairement sur F G . on projettera les point F et G suivant AB. en /'et </; on se représentera de nouveau le cercle indiqué par AB comme étant rabattu . et l’on projettera les points f et g sur la circonférence en F et G , et l’on aura alors F G qui sera le diamètre exprimé par F G. Mais comme le petit axe doit être situé perpendiculairement sur le grand axe . alors on tracera le diamètre Il I perpendiculairement sur F G , on projettera de nouveau les points H et 1 de A B en h et i , on élèvera sur F G au point O' une perpendiculaire que l’on coupera en h et i par des lignes parallèles à xy jusqu'aux points il etl. Par suite HI sera le petit axe de l’ellipse.

S’agit-il ensuite «le tracer les projections du cercle doublement incliné, on cherchera alors , suivant le § 104, l'ellipse arbe. d’après AB; on transportera celle-ci en d c b c sous l’angle donné é , on déterminera par C et o le centre O et l’on cherchera ensuite, par la méthode que nous venons d'indiquer, les deux axes F’G et III, à l’aide desquels on est à même de construire /V//t/«c suivant le § 104.

§ 108. il — Problème. — Tracer au point donné /, une tangente à la circonférence de l'ellipse a lied {fig . .10).

Solution. — Ou commence par déterminer, comme dans la fig. 27. les foyers /'et / ; de ces points on mène en t les lignes ft et ft , cl l’on partage l'angle résultant /’//’ en deux parties égales ftg=gtf, ce qui « obtient en faisant lk = thi\ puis, menant de h et U , les deux rayons égaux lige I h g, on fera passer par leur intersection g la ligue kg. Enfin , sur cette dernière on élève au point l la perpendiculaire mn, qui sera la tangente cherchée de l’ellipse.

Peur mener aux points a on d des tangentes à l’ellipse , il suffit d’élever sur né au point «la perpendiculaire qr ou sur cd au point d la perpendiculaire op.

§ tOO. — La fig. 31 fait voir comment on représente sur un plan vertical la projection d’une ligne courbe à inclinaison double, lorsque celle-ci a la forme de la fig. M, lorsque d’autre part » est l’angle que le plan de cette courbe fait avec le plan de projection horizontale , et que s est l’angle que le

DEl'XIÊJHE PARTIE.

plan de cette même courbe fait avec le plan de projection verticale. A D de la fig. 1 est la projection de la fig. M . fig. 2 est la projection de la fig. t , fig. 3 est semblable il la fig. 2 , mais placé par rapport hxy suivant l'angle y, et fig. 4 est la reproduction de la fig. 3 et fig. 1 .

De même que pour l’intelligence de la ligure, il faut se représenter le plan de projection horizontale placé au-dessous de xg tournant pu tour de cette ligne jusqu a ce qu’il se trouve perpendiculaire au plan de projection verticale, de même il faut aussi se représenter le plan «fans lequel est tracé la fig. M. tournant autour de la ligne AI), jusqu'à ce qu’elle soit perpendiculaire au plan de projection verticale , et que la ligne droite Al) soit la projection de la ligne courbe ou duplan.

Le dessinateur reste libre du choix à faire des points A, B, C, D... dans la fig. M, par lesquels l^courbc est déterminée ; toutefois il est nécessaire que leur position et leur nombre soit déterminé en partie d’après la forme , en partie d'après l'exactitude que l'on peut donner à la figure.

§ 110. — On donne le nom de courbes» simple courbure à celles qui se trouvent tout entières dans un plan : et toutes les courbes desquelles il a été question jusqu’à présent sont de cette espèce. On donne au contraire le nom de emrbes à double courbure à celles qui ne se trouvent pas sur un plan et qui ne sauraient y être enfermées, mais qui se trouvent sur une surface courbe. Ces lignes sont formées par un point qui ne se meut point dans un même pèan ; elles sont formées par exemple lorsqu'on trace à la surface courbe d'un cylindre ou d'un cène, des lignes courbes quelconques.

Dans la projection d'une ligne courbe à double iurliiuiison sur une [dan l'image de cette ligne ne peut jamais apparaître dans sa véritable grandeur, ou comme une ligne droite, comme c’était le cas pour les lignes à simple courbure ( § 67 ); Mais la projecliou se présente toujours sous forme d’une courbe qui s’écarte plus ou moins de la forme primitive; elle peut aussi apparaitre sous forme de circonférence ou de partie de circonférence . quand . par exemple , la courbe est tracée à la surface d’un cylindre droit , et qu'on la projette sur la base circulaire du cylindre, auquel cas sa projection viendrait se

confondre avec la circonférence qui est la projection du cylindre.

§ 1 1 1 . — Pour arriver encore à une connaissance plus parfaite de la nature des lignes à double courbure , il faut observer ce qui suit : lorsqu’un plan est coupé par un autre plan . la ligne d’intersection sera une ligne droite ; si c’est une surface courbe qui est coupée par un plan , l'intersection sera une ligue à simple courbure ; mais si ce sont deux surfaces courbes qui se coupent , l'intersection sera une ligne à double courbure. Donc, si un cône est coupe par un plan , l'intersection sera un cercle, ou une ellipse, ou une parabole , ou une hyperbole ( nous parlerons plus loin des deux dernières figures , et toutes ces lignes sont composées de courbes à simple courbure , et en même temps forment des sections côniqucs. Il y a encore à remarquer que si la section est faite par le sommet du cône, il n’en résulte jamais un triangle composé de lignes courbes, mais toujours un triangle rectiligne, soit que la section soit oblique ou perpendiculaire à la base du cône ; dans ce dernier cas , il passe dans le cône droit , par l'axe et est appelé section priiwijMih pour le distinguer des sections obliques. Si la surface conique est coupée par une surface courbe quelconque , l'intersection qui en résulte est en général une courbe à double courbure.

§ 1 1 2. — Comme ces lignes à double courbure varient extrêmement de forme, puisque non-seulement celle-ci change à charpie section dirigée différemment , mais que leur figuration sur des surfaces courbes peut se faire de tant de manières , il s’ensuit qu’il est difficile de ranger ces courbes en un certain nombre de classes, comme on a pu le faire pour les courbes à simple courbure. Cependant ces lignes se rencontrent si fréquemment dans le dessin des arts, qu’il est indispensable au dessinateur d'en avoir une connaissance plus approfondie, afin d’éviter les fautes qu’il commettrait infailliblement s’il en ignorait la substance.

Dans les paragraphes suivants, nous ferons connaître la manière de tracer quelques-unes de ces lignes à double courbure.

§ 113. — Si sur les côtés ah et cd d’un rectangle quelconque a h c d (fiy. 32) on porte plusieurs parties égales a c = e

DEtXILMl: PARTIE.

f = fg*= de' — e' p = f g’ , et que les points ainsi obtenus soient reliés par les droites ac’, ep et f<j ' , et qu’on se représente ensuite ce rectangle comme étant le développement d’un cylindre, dans lequel a d et bc seraient le développement des circonférences des bases, dans lequel les lignes a bel cd, cl par conséquent les points e e te', /' et p g et g' se confondent ; dans ce cas , les lignes ae‘, e f; fg', etc. , formeront une ligne courbe non interrompue, o’ h c’ i p k s’enroulant

sur la surface extérieure du cylindre qui reçoit le nom de hélice. L’angle c' « d se nomme inclinaison de C hélice , a ' h e’ = ae' se nomme un pas de riiclice , et la distance d’un pas à l'autre, mesurée parallèlement à l’axe a' e ’ = ae, se nomme la hauteur d'un pas de l’hélice.

§ 114. — Problème. — «"» le diamètre du cylindre a ' nmb’ (/ ig . 32) ,a'e" —de la hauteur du pas et de plus l'angle e’ a d étant donné, construire l’hélice. .

Solution. — On prolonge l’axe du cylindre, sur un point quelconque de ce prolongement, en » par exemple, on décrit avec la moitié du diamètre du cylindre un cercle que l’on partage en un nombre de portions arbitraires en 8 , par exemple, comme ici. Après quoi Ou prolonge aussi la ligne a’ n ; l’on fait , suivant les indications du § 47 ou 48, la ligne ad égale à la circonférence du cercle indiqué |>ar a' n , et sur a d on élève le rectangle alicd, de telle sorte que» b=a’ b'. La distance a' c’=ue = d c' (qui est la hauteur du pas de l’hélice), est portée successivement sur les côtés a b et cd; sur ad au point a ou mène l’angle donné c a d, on trace les lignes a e', e p, etc.; d’autre part, on divise la droite ad en autant de parties égales que primitivement on a divisé la circonférence du cercle , c’est-à-dire en 8, et sur les points de partage t , 2 , 3, etc., de la ligne âd on élève les perpendiculaires 1.1, 2 . 2 , 3. 3 , etc. On élève de même des points de division 1 , 2,3, etc., du cercle des perpendiculaires sur a' n, etl'on mène des points I, 11, 111 , IV, etc. , qui sont l'intersection des lignes 1, 2, 3, 4, etc., des perpendiculaires à ad avec les lignes ne, e f, fg, des parallèles kad que l’on prolonge jusqu’à ce qu’elles viennent couper en *» p, y. ), etc., les perpendiculaires précédemment élevées sur a' n. Ou relie enfin ces

DESSIN GÉOMfrmiOl’E.

points par la ligne courbe a’ h e’i'fk'ifl , et l’on aura l'hélice cherchée. Les portions tracées en plein sont celles sur le (levant cylindre; celles ponctuées se trouvent sur sa partie postérieure.

On peut trouver de deux manières le point l dans lequel l’hélice coupe en haut la ligne h' ni , premièrement : du point p dans lequel la ligne prolongée tjr rencontre la perpendiculaire l. i , on mène une ligne parallèle à b r. qui détermine sur la face prolongée in n du cylindre le point q . où viendrait aboutir la portion if I de. la ligne spirale prolongée. Deuxièmement : du point d’intersection r du rectangle a b r d on abaisse une perpendiculaire r .v sur ad , on fait sur la circonférence du cercle l'arc de cercle 3 s' égal a la |torlion 3 s de la ligne a d , et on élève en s une perpendiculaire sur n’ n qui coupera ir m en /. Cette dernière méthode peut offrir quelque inexactitude dans lecasoù 3.x n’est pas la moitié, le tiers ou le quart, etc., de la portion 3. i établie sur la ligne ad. à cause de la différence de mésure de la corde et de l’arc; mais on peut y remédier en établissant encore de nouveaux points entre 3 et 9.

Comme le rectangle a b cd est le développement du cylindre sur lequel les lignes droites ae', e f, etc., figurent les hélices cherchées sur ce cylindre , et somme aussi bien la circonférence du cercle décrit du point o , comme centre , et la ligne ad qui est son développement sont partages en un nombre de divisions égales; il résulte de la conslnfhtion donnée que les points d’intefsection , ?, -f. jetc. , doivent être les projections des points I, 11. III, IV, et<ê?srtPla surface cylindrique, puisque en menant par ces points des verticales, on a les mêmes distances que l’on a déjà eues de I. II, III, etc., sur ud . et (pie a - . B, et les distances horizontales de ces points sur le cylindre correspondent à celles sur sou développement, ainsi qu’on l’srobtcmi en divisant la circonférence o et la droite a d en un blême nombre de parties égales. Par suite, a' hc’ sera cette portion de l’hélice développé en oc’; e' if cellcdéveloppée en ■ e f ; f k g’ celle développée en fg' , et enfin g l celle développée en gr.

lt est évident que l’on trouvera l’hélice d’autant plus exactement , qu’on aura admis un plus grand nombre de points de division entre le cercle et la ligne.