DEUXIÈME PARTIE

115. — 11 est aisé «le démontrer que «' e', ainsi que la distance t u , [irise sur l'axe , sont divisés par des lignes partant de I , II, 111, IV, etc., menées parallèlement à ad, en autant de parties «pie la ligne n d elle-même a été d’abord divisée. C’est pourquoi lorsqu'il s’agira de la construction d’unehélice , il ne sera pus nécessaire de tracer d’abord le rectangle a bi d-, on y arrivera plus simplement par la méthode suivante.

On divisera soitn’ c ou bien t m (c'est-à-dire la hauteur du pas ) eu autant de portions égales <|ue l’on a divisé la circonférence de la projection horizontale (comme ceci a eu lieu en c' f' ou v w), et de ces points de partage ou mènera des parallèles à «• n, que l’on prolongera jusqu’à leur rencontre avec les lignes menées par les points de divisions du cercle 1,2, 3, etc., en », s, y... Si l’on joint ces points par une courbe, on obtiendra encore l’hélice.

§ 1 Mi. — Il s'agit «le tracer une vis à filet carré, lorsque les diamètres a b et cd des deux rylimlres (/««/. 33), ou la largeur ne «In filet cl la hauteur nf du pas devis, sont donnés, et si. d’autre part, la hauteur c f de l’espace renfermé entre les filets , est égale à l’épaisser du lilet a c.

Solation. — Sur les deux ciMés du grand cylindre on porte plusieurs lois la distance ac — e /'= fi = bg = gh=hk , etc. , ou même les lignes c g , /'/« , i k , etc. , après quoi on construit suivant les indications du § Ht, la spirale agfk... et celle «pii lui ressemble eh il,.... comme aussi la spirale du petit cylindre cmn... et celle qui lui ressemble opq... et on exécute tout le dessin en suivant les données indi«|uées dans la figure 33. Mais comme on ne petit pas voir dans celte figure la partie du filet qui se trouve sur le côté opposé de la vis , et qu'il u’est pas nécessaire de représenter , on arrivera plus facilement au but en construisant sur deux feuilles séparées les deux moilii’îs de lignes spirales a g el cm , d’après les donnés du §114, on les découpe sous forme de [Mitrons (1) , et on les applique successivement sur chacun des points ae, c f, bg , g h , etc. ,

(I) On choisira de préférence «n morceau de papier fort, un petit morceau de carie, de parchemin, et de préférence une feuillu de corne.

DESSIN (iÉOMÉTRIQl'E.

cl on Iracc le long de leurs rebords les courbes qui se montrent dans la ligure. De celte manière , le tracé demandé de la vis ù filet pourra s'exécuter d’une manière exacte et facile.

Il n'est pas besoin de dire que pour l'exécution de ces -patrons, on n'a besoin de prendre que la moitié de lu hauteur des [vas de vis , savoir nh , fig. 32 et la partager eu un même nombre de parties que la demie circonférence du plan horizontal, ou la partie a i de la ligne ad, attendu qu’ici on ne cherche à connaître que la portion a h de l’hélice , et l'on peut utiliser aussi ce même patron pour l'autre moitié he' de l'hélice spirale , car il est évident que les deux portions a’ h cl h c.' de cette courbe doivent être semblables.

§l*lü(a). — Si l'on admet le diamètre cd (fig. 33) du cylindre intérieur bien plus petit que le diamètre a b du cylindre extérieur, et en même temps la hauteur bg du pas de vis bien plus grande , dans ce cas on emploie , suivant ce qui a été dit dans le paragraphe précèdent , le procédé que l’on suit en général lorsqu'il s’agit de construire un- escalier tournant, pour figurer aussi bien les courbures des limons, (pie les points où s'assemblent les marches , et en général tout l'ensemble de l’escalier.

§ 117. — Problème. — Tracer dans la figure 31 la coupe de l’écrou de la vis {fig. 33).

Solution. — Toujours suivant le § 1 1 i, on cherche les deux courbes c.b cl od ( fig . 34), on découpe d'après eux les deux patrons, (§ 116), et on procède ensuite de la même manière que nous l'avons enseigné pour les cas précédents. On se convaincra facilement de l'exactitude de cette construction par un examen attentif de la fig. 34 , et sa comparaison avec celle de In fig. 33; on s'en convainrra d'autant plus vite, que dans les deux figures on a donné aux mêmes points de chaque ligure les mêmes lettres.

De cette comparaison il résultera encore que les parties visibles de l'écrou doivent tourner en cens contraire des parties visibles de la vis, puisque les parties cachées de la vis sont celles qui s’adaptent dans les parties visibles de l’écrou.

§ 118. — Problème. — Tracer une vis dite à filet triangulaire , lorsque les deux diamètres a b et ed , ainsi que la hauteur du pas de vis b h , sont donnés {fig. 33).

DEUXIEME PARTIt.

Solution. — On divise la hauteur du pas de vis bk, de même que les deux circonférences concentriques du [dan horizontal décrits avec oa' et oc' en un même nombre de parties égales, en 12 par exemple, et l’on construit les deux lignes spirales u ij /‘et <1 i k , d’après ce qui a été indiqué dans le § 1 1 i, et comme ou le voit dans la fig. 35; on trace les lignes de même direction a<j,ik,f m, etc., de ces hélices, et on relie les points «, i, f, I, etc., de même que d, g, k, ni, etc., par des droites.

§ 119. — Pour tracer l’écrou (pg.3(i) qui convient à cette vis, on suivra exactement les indications des paragraphes précédents, mais dans cette figure concave, on ne ponctuera point les lignes id,fg,lk, comme dans la fig. 35, on les tracera en plein ; on indiquera ainsi les profondeurs dans lesquelles viennent s'ajuster les filets cachés de la pg. 35.

Dans les deux figures, les triangles a if. ifl, dgk, yk m, etc., sont semblables et égaux, ainsi que cela est facile à démontrer.

§ 120. — Problème. — Donner en projection verticale •{fig. 3‘>) la coupe de cette vis par un [dan passant par l'axe.

Solution. — Soit la ligne 2, 7 , la projection de ce plan sécant sur le plan de projection horizontale. On élève des [Kiinls 2, «' , y' et 7, où cette ligne coupe les cercles concentriques du plan horizontal , des perjiendiculaires sur a b; et l'on obtient à leur aide , sur le filet triangulaire figuré par A B, les triangles égaux 2 u 2, si l'on réunit par des droites les points dans lesquels ces lignes coupent les parties correspondantes des hélices r.v, A B et Iq ; et l'on obtient aussi les triangles égaux 7 p 7 , si l'on réunit les points dans lesquels les portions C B qui se trouvent sur la face opposée, rq et A m des hélices. Comme après cela, ce qui est aisé à prévoir, ces triangles se répéteront pour chaque filet , alors les côtés n 2 et p 7 de tous ccs triangles formeront le contour delà surface sécante dans la hauteur de la vis.

Si d'autre part on admet que sur les lignes 1.6,4. 9 , et 5. 10 se trouvaient établis des plans perpendiculaires, l’on trouverait de la même manière les triangles égaux qui forment l’intersection de la vis avec ces plans, avec cette remarque, que

TRAITÉ DU DESAIX CÉOWtTlUQUE. 12

ces triangles deviennent d'autant plus petits qu’ils approchent davantage de lu projection de l'axe de la (igure , et d'autant plus grands qu'ils s’en éloignent davantage, de telle sorte qu’ils apparaissent sous forme d'une ligne droite dans leur projection du plan sécant 3 8, et qu'ils apparaissent dans leur véritable grandeur quand ils sont la projection du plan sécant a' g'.

§ 12t. — Si enfin on se représente le cylindre intérieur • de la vis entièrement supprimé , dans ce cas le filet tournant forme une prisme carrée, tourné en hélice (fîg. 37 ). Dans ce cas il ne faut pas que les hélices de derrière soient ponctuées dans le dessin; elles devront au contraire être tracées en plein dans tous les points où elles ne seraient pas recouvertes par les filets antérieurs. Les côtés dm, nn, etc., du cylindre intérieur indiqués dans la fitj. 33, doivent être entièrement supprimés dans ce dessin. La représentation d’une semblable figure se fait du reste tout-à-fail suivant les indications du § i H et It 0, et on peut le voir facilement par la /ig. 37 , sans qu’il soit nécessaire d’y ajouter d’autres détails.

Qu'un corps soit composé de l’assemblage de plusieurs morceaux, qui offrent sur le plan horizontal la forme de abdc, rdfe, etc., et si l’on doit donner en projection verticale les plans de coupe suivant lesquels ces morceaux se rejoignent ; oïl n’aura qu'à élever dans les points a, b, c, d, etc, des perpendiculaires sur la ligne de terre, et réunir par des droites les points où elles coupent les hélices correspondantes, comme on peut le voir en A et B. Les rectangles résultants sur le plan vertical sont donc, ce qui est facile à voir, les projections des coupes demandées. 11 sera facile d'employer ce procédé lorsqu'il sagira de figurer les morceaux de limons d’un escalier.

§ 1 22. — Problème. —Trouver les projections horizontale et verticale d'une spirale qui s’enroule sur un cône droit, ioa', ifiy. 38, A) quand le diamètre de la base du cône et la hauteur de ce cône sont donnés.

Solution. — On trace la base du cône (/«/. B} et on partage sa circonférence nn un nombre quelconque de parties égales, en 8 par exemple, a, b, c, d, etc. De ces points de division on élève les perpendiculaires blip et dfq sur in', et l'on mène dans la fiy. A les lignes op et uq. Après quoi on par-