DEUXIEME PARTIE

tagp la hauteur oc' en l parties environ, c'k—kl=lm^mo, dont chaque partie doit donner la hauteur d'un pas. On divisera d'autre part chacune de ces parties en autant de parties égales qu'on aura divisé la circonférence de la base, c'est-àdire ici en 9 , et de ces points on mène des parallèles à «V. Si enfin on relie les points i, *, s, 7, r, etc., dans lesquels ils coupent les lignes oi, op, oc', oq et oa à laide de la ligne courbe irstuvtcxo: celle-ci sera la projection verticale cherchée de la spirale tracée à la surface du cône. Celte ligue est du nombre de celles à double courbure (§ 110).

Pour trouver maintenant la projection horizontale de cette ligne (fiij B), on commence par tracer du point central 0' suite plan horizontal, les projections de toutes les circonférences passants par r, *, 1, u, v, w et x ( /?;/. A ), et ensuite les projections des autres circonférences tracées entre i et s, « et u, etc. (fig. A); après quoi on commence sur le plan horizontal (/'g. B) par a, et l'on trace peu à peu jusqu'au point o', une courbe passant par les points d’intersection a. p', 7', r', etc., dans lesquels chaque circonférence qui liasse par là, coupe les lignes o'b, o'c , o'd, o'e, p'f, o'q, o-h et o’u. La ligne courbe en forme de spirale qui en résultera sera donc la projection horizontale demandée.

De même la ligne ou (fig. B), est la projection de la ligne oi ( fig . A), île même encore la ligne o'b (ftg. Bj est la projection de la ligne op (fig. A), etc. Par suite, les points a, p’, ■/’, r. etc., de la fig. B, dans lesquels les lignes o'u, o'b, oc, etc., coupent dans le plan horizontal les cercles concentriques et correspondants, sont les projections des points corrcs|iondaiits dans lesquels les cercles qui sont figurés sous forme de ligues droite sur le plan vertical, sont coupés par les lignes oi, op, oc, etc., c’est à dire que a, P', •/, /' u\

v', te', x‘ et 0' ( /g. B), sont les projections des points i, *• P, 7, r, f, é, s, t, u, v, w, x cl o {/g. A ) ; et par suite la ligne spirale sur le plan horizontal est la projection delà ligne spirale du plan vertical.

Attendu que le tracé de tous les cercles de la fig. B rend ce travail difficile, et que leur grand nombre peut causer des erreurs ; on pourra le faciliter si l'on ne décrit que

les cercles passants par s', u' et le ( /-g. B), si l’on partage les parties des demi-diamètres o'a, o'b, o'c, etc., qui se trouvent entre deux cercles concentriques, en 8 portions égales, et qu’ensuiteon mène les lignes de telle manière que* 1 passe par le premier point de partage, y par le deuxième, -/ par le troisième, r' par le quatrième , d ' par le cinquième, i’ par le sixième,^’ par le septième et s’ par le huitième. On continuera ce tracé successif de la spirale à travers les autres cercles concentriques, jusqu’à ce que l’on atteigne le point o'.

Il est facile de voir l’exactitude de ce procédé par la simple inspection de la ligure. '

§ 123. — Proposition. — Décrire une spirale sur le développement a' oa’c' a' , fig. 38 A du cène oia'.

Solution. — De même que flans la fig. 32 , le rectangle ob cd est le développement de la surface courbe du cylindre, de même dans la Jig. 38 A , la coupe «’ ou' v a' est le développement du cône. Pour dessiner ce développement avec la spirale telle que celle-ci apparaît sur cette surface conique développée , on procède ainsi qu’il suit : On mesure d'abord la longueurde la circonférence de base du cône = 2 + wc' + *, et on obtient par là en même temps la longueur de l’arc a' a'. De même on mesure par le dcmi-diaiuètrc donné a' c' et par la hauteur oc’ du cône la ligne on' = [/(a'c'y -f- (oc')"’, après quoi on cherchera la grandeur de l’angle n’o a ' , dans lequel on pose : La circonférence entière du cercle décrit avec o a' comme rayon est à la longueur de l’arc a' a', comme la somme de tous les angles placés autour de o est à l’angle cherché, c’està dire (2 + oa’ + *): (2 + a’c’ + jr}= 360 ° : a' oa'. On porte cet angle sur oa' et l’on décrit avec oa' comme rayon l’arc de cercle a' a'. Le secteur a' o o' a’ obtenu ainsi, est donc le développement entier du cône, et a 6 e a' la moitié de celui-ci. On obtient d’une manière plus prompte cette coupe, quoique d’une manière moins exacte, mais cependant suffisante pour les besoins ordinaires, si l’on décrit d’abord avec o« pris comme demi-diamètre un arc d’une longueur indéterminée, si l’on divise la ligne ia en sept parties égales, desquelles on en porte vingt-deux sur la longueur de l’arc, et si on joint «’, le dernierdc ces points avec o (§ 47).