DEUXIÈME PARTIE

Si maintenant on divise l’arc a a' en huit parties égales , et si on mène les demi-diamètres o b oc od , etc., alors ces lignes qui apparaissent en leur véritable grandeur seront dans ce plan les lignes correspondantes des côtés op, oc, oq , etc.

Après quoi on tire du centre o des arcs concentriques à a’ a' , passants par les points r, *’ t , etc., et aussi par les points intermédiaires à ceux-ci, suivant lesquels la ligne oo' estcoujiée par les lignes menées dès le commencement , parallèlement à in', ensuite tracer successivement en commençant par les points a' , s', n' et w' de la ligne on' , et en passant par les points d’intersection de ces ares avec les demi-diamètres ob' , oc' , etc., tels qu’ils se suivent , les lignes courbes a ' *’ s' / r* o* ? y, *' t' u\ u v’ 1 r et w ’ x’ o; et ces lignes seront les différentes parties de la spirale cherchée sur le dévelop|>ement du cône. Les lignes d’intersection passant par r,s,t, u, v, w et x ( fuj. A) et situées parallèlement à a' i sont dans le développement figurées sons forme d’arcs concentriques, parce que chacune peut être considérée comme la base d’une partie de cône développé. Par exemple, os’ s’ est le développement du cône os s', et s' s ’ le développement de la circonférence qui passe par s s’.

Si le développement est ramené à la forme primitive du cône a’ oa' a", de telle manière que les lignes oo’ et oa • se joignent; alors les portions séparées delà spirale se continueront à la surface du cône sous forme d’une courbe non interrompue , en même temps (pie les points de terminaison s ’ et u et u*, w' et w' situés sur les lignes oo et o a' viendront coïncider. Par l’examen attentif de la figure , il est du reste évident que les points a", fi', ■/’, r', t’, ?, y, s ’ , t', u' du développement du cône répondent aux points i, », fi, y, r, t, r , f, s, t, u, etc., de la projection.

§ 124. — Problème. — Tracer sur la surface courbe d’un cylindre droit abcd [fig. 39) des figures quelconques, dont les formes réelles et les dimensions sont données.

Solution. — On commence par tracer un rectangle ABCD, dont la base A D soit égale à la demie circonférence du plan horizontal (§ 49), et dont la hauteur AB soit égale à celle du cylindre; et ce rectangle sera alors la moitié du développement

du cvhndre. On dessinera, par exemple . dans ce rectangle les figuras demandées, telles que le losange EFG H, le rectangle 1KLM et le cercle NOPQ; puis on cherchera leur projection l’une après l’autre sur la surface courbe du cylindre. A cet effet . on divisera A D en un nombre quelconque de portions égales, en 8 par exemple ; sur les points de partage 1 , 2, 3, H. etc., d, on élève des perpendiculaires sur AD, on mène ensuite les hori/.ontales RS, EG et TU, toutefois jamais à une distance arbitraire l’un de l'autre, mais de telle manière que le nombre de ces lignes , de même que leur position l’une par rapport à l'autre , soit établi suivant la forme de la figure à représenter. Ensuite on projette sur la surface courbe nbcd ce qui se trouve dans le rectangle ABCD développé. Pour cela , on partage aussi la moitié du cercle de base a h d en huit parties égales , on élève sur ces points de partage des perpendiculaires , et sur le côté a b on fait a r = A R, ne = A E et al = A T. Si d’un autre côté on mène aussi les horizontales rs, ci/ et l u, ou obtiendra par là sur la surface courbe du cylindre abcil la projection des lignes tracées sur le développement du cilyndrc A BCD. La /ifj. 39 indique clairement comment on transportera sur nbcd les ligures dessinées sur A BCD. En effet, puisque les distances verticales des figures dessinées en A B G I) ne sont pas changées sur la surface du cylindre nbcd, mais qu'au contraire ces distances doivent rester ici les mômes; il s'ensuit que l'on a qu'à prendre une ouverture de compas et porter chaque point du développement ABCD sur la surface cylindrique nbcd, à partir de la ligne de base AD. Ainsi . par exemple, le point i sera la projection du point 1 , parce que i 2 = 1 2. D'autre part, le point f sera la projection de F, » celle de N. A- celle de K , parce que fh = FH , n/i = NH , A 5 = K 5 , etc. Mais pour trouver sur abcd la position des points qui se trouvent sur aucune des lignes de développement , tels par exemple que les points V et Y, on abaissera de ces points sur A 1) les perpendiculaires VWetYZ, on déterminera sur la demi-circonférence ah il en »* et les points «j et î (comme ceci a eu lieu /iij. 32 avec le point S entre 3 et 4) , de ic et ; on élèvera vers a d des perpendiculaires, et sur elles on fera vw = VW et yz = Y Z. Par

DKIXIÈME PARTIE.

ce procédé l'on peut transporter sur la face courbe a bcd tout point que l’on choisit sur le plan A B (il), et c’est ainsi que les points 0 et Q de ce plan ont été transportés dans les points o et q de la surface courbe.

Les lignes droites E F, F G, G H, H E, A C et B D , apparaissent à la surface du cylindre sous forme de parties d'helices semblables ef, fg, y h. lie, ac ci bd, mais le cercle N 01* U apparait sous forme d'une ligne courbe h opq de forme d’uu • rond allongé, mais n'est pas une ellipse.

§ 125. — Si la figure que l’on doit dessiner à la surface d’un cylindre est composée de la réunion de plusieurs courbes, peu importe que sa forme soit régulière ou irrégulière , on l'exécutera en suivant les indications du paragraphe précédent; seulement on aura peut-être besoin d’un nombre plus ou moins grand de lignes , d’après le plus ou moins de complication de la forme de cette figure , aussi afin d’obtenir par la un grand nombre de points d'iutersection pour la détermination exacte de la figure à représenter.

S'il s’agissait par exemple de dessiner un bas-relief situé sur la surface courbe d'un cylindre , il faudrait dans ce cas dessiner dans sa véritable proportion sur le développement du cylindre, la portion apparente dans le demi cylindre, et à l’aide du procédé indiqué dans le paragraphe précédent, transporter de ce développement sur la surface courbe le contour de chaque figure en particulier. La projection ainsi obtenue à la surlace courbe d’un cylindre sera d'autant plus parfaite que l'on aura pris un plus grand nombre de lignes horizontales et perpendiculaires pour le développement.

Il est à peine besoin de dire que la construction indiquée au paragraphe 1 24 peut aussi bien être employée pour des surfaces convexes que pour des surfaces concaves, puisque abcd peut aussi bien être un cy lindre convexe que concave.

§ 1 20. — Si, d'autre part, une figure est dessinée sur la surface courbe d'un cylindre abcd {fig. 39) (ligure qui naturellement ne peut pas être représentée dans sa position véritable sur cette surface courbe), et s’agit-il d'obtenir sa forme réelle, afin d'arriver, à l’aide de ce dessin, à la connaissance des rapports exacts des lignes entre elles, on suivra alors de nouveau

la voie tracée dans le § 124, seulement dans nu sens inverse; c’est-à-dire, on dessine d'abord le réseau de lignes sur le cylindre, comme cela a lieu dans abc<l (/ itj . 39), puis on le transporte sur le développement A HCl) de la surface cylindrique. Les distances verticales, qui jamais ne présentent de raccoursissement, sont portées les premières de abcd sur AB CD sur les verticales correspondantes. Les distances liori- -zontales se déterminent, comme on peut le voir par la tig. 39, par le développement lui-même. Le reste est facile à saisir par l’inspection de la fig. 39.

§ 127. — Problème. — Dessiner le développement d'un cylindre coupé obliquement abcd ijig. 40), dans lequel les lignes a b et cd sont les projections des plans sécants obliques au plan de projection horizontale et perpendiculaires au plan de projection verticale.

Solution. — On trace la base du cylindre sous la forme d'un cercle, et on divise aussi bien sa circonférence que la lignée’ /'(qui est sa rectification en prolongement de d' c) dont la longueur peut être trouvée d'après la méthode indiquée pour la rectification du cercle (§47, 48), en un même nombre de portions égales, en 12, par exemple. On élève des perpendiculaires de tous ces points de partage, tant du cercle que delà ligue c' f, et on mène à d f des parallèles par les divers points où les perpendiculaires menées à la surface ducyliudre coupent les lignes ab et cd, et enfin on relie les points t, g, k, p,

« , à, n , etc., par les lignes courbes ba' e et cd g. Ce sont les points où les perpendiculaires correspondantes iicf, dans le développement, sont coupées par les parallèles ad f , dont il a été question. L’on aura alors ba' egd' cb , qui sera le développement cherché de ce cylindre coupé obliquement.

On se convaincra de la justesse de ce procédé par un examen attentif de la figure 40. Il y a encore à observer que les courbes ba e et cd g ne sont pas le développement de lignes à doubles courbures, parce qu’elles sont la section du cylindre par un plan mené [»ar ab et cd , et elles forment des ellipses , si l'on ramène le développement à la forme cylindrique primitive.

§ 128. — Problème. — Un cylindre est placé parallèlement