DEUXIÈME PARTIE

au plan de projection horizontale et apparaît sur celui-ci sous la forme du rectangle abcd { fig. -41), tandis qu’il est incliné sous un angle ■> au plan de projection verticale ; faire connaître la projection de ce cylindre sur ce dernier plan.

Solution. — On construira . suivant les données du § 104 , les deux ellipses AO 110 et DP CP comme étant les deux hases du cylindre, dans lesquelles 00 — ab, et AB est la projection de ab ; l’on réunira les points O et P’, ainsi que O et P par des droites , qui doivent être parallèles à xy ; AC sera alors la projection cherchée qui naturellement sera d’autant plus courte que l’angle * sera plus grand, et apparaîtra sous forme de cercle lorsque * = 90 •.

Le cylindre est-il creux comme dans efigh, on obtiendra encore sur le plan de projection verticale l'ellipse EF, facile à trouver.

§ 129. — Problème. — Dessiner sur le plan de projection verticale la projection d'un cône droit tronqué (fig. 42), lorsqu’il apparaît sur le plan de projection horizontale sous la forme d’un trapèze abcd, et lorsque son axe, étant parallèle à ce plan , est incliné sur ce plan par rapport à la ligne de terre sous l'angle*.

Solution. — On mène la ligne AQ parallèle à la ligne de terre; on construit, d’après le § 104, les deux ellipses AOBO' et DP CP' comme étant les projections des hases ab et cd , et ou applique les tangentes aux deux ellipses. Si q est le sommet du cône dans le plan de projection horizontale, Q donnera le sommet d'un même cône sur le plan de projection verticale.

§ 130. — Problème. — Soit un cylindre ABCD (fig. 431), formant l'angle «avec le plan de projection horizontale, et étant situé dans une position parallèle au plan de projection verticale; sa projection sur le premier plan apparaitra alors, d'après le § 128, sous la forme de la ligure II. Si l’on donne ensuite a cette ligure, avec tousses points, la position de la figure III, de telle sorte que l’axe fasse avec xy l’angle jS , que la ligure III soit d’ailleurs égale à la figure 11 ; on demande de faire connaître la projection du cylindre doublement incliné vers le plan de projection verticale, ainsi que celui-ci a été représenté dans la ligure IV.

OU mi Dl DSMIK CV'ovrrRIQIB.

DESSIN «éOMËTBIQl’E.

Solution. — On construit, d'après les § 107 ou 108 par la ligure I et ligure III , l'ellipse AO KO [fig. IV), ce <)ui s'exécutera promptement à l'aide des points correspondants notés de la même manière. On procède de même pour la projection de l'autre plan CD , et l'on trace les tangentes aux deux ellipses, et AC' sera alors la projection cherchée. Dans cette construction, il faut faire attention à ce que, dans la projection perpendiculaire d'un cylindre , celui-ci doit toujours apparaître sous son vrai diamètre, quelle que soit sa position par rapport au plan. D’après cela, il faut que la distance de tim [fig. IV) soit égale au diamètre Ali de la ligure 1 , quoique la longueur A D (fig. IV) , à cause de sa position iuclinéc vers le plan , soit plus courte que la longueur réelle AD (fig. 1.) du cylindre. De même oo [fig. Il) , oo ( fig . 111) = AB (fig. I). De ce que le diamètre du cylindre doit upparaitre dans toutes les positions de ce cylindre.* dans une dimension constante, c'est ce qui résulte de la construction marquée dans la figure 30, dans laquelle non-seulement les lignes cc et ce ont été rendues égales à AD, mais où encore la ligne FG a obtenu la longueur du diamètre donné, et sera |>ar conséquent aussi égale à AD.

11 est encore aisé de comprendre par la vue de la ligure coin* ment le parallélépipède I’ a été transporté de la figure I dans la ligure IV.

§ 131. — Problème. — Un cône trongué droit ADFE (fig. 44 , I) a la position suivante sur un plan : le coté DF s'applique sur la ligne de terre xij (ou encore est parallèle avec celle-ci) , l’axe DG forme par suite avec xg un angle, mais est parallèle au plan de projection verticale; on doit premièrement dessiner la projection de ce cône dans la projection hori/.ontale ( fig. U) , puis dans une position oblique au plan de projertiou verticale (fig. IV) , puis ciilin dans une position perpendiculaire au plan de projection verticale [fig. V).

Solution. — Les deux I aises circulaires du cène apparaissent sur le plan vertical sous forme des lignes droites AD et KF, mais dans la projection horizontale, sous la forme des ellipses ah clef, que l’on obtient d’après les indications du § 104, et auxquelles on trace encore deux tangentes, pour obtenir dans la ligure II la projection cherchée be du cène.

I’ar la position inclinée III de la ligure II , et parla figure I,

on trouvera la projection du cône {fi;/. IV) sur le plan de projection verticale, où les ellipses A B et KF apparaissent comme Étant les projections de cercles à double inclinaison , dont la figure s’obtient à l’aide des lettres correspondantes des § 107 à 108.

Dans la vue V, le cône se montre sous la forme de deux ellipses dont les grands axes D’D' = AB , O'G' = EF , et dont les petits axes A"B" = AH et E'B' = El. On peut maintenant construire ces ellipses suivant ce qui est dit au § 104 , ou se servir des points arbitraires I et 2 admis dans la figure I pour la détermination de la figure IV . et augmenter leur nombre selon le besoin.

§ 1 32. — Si le cône était entier au lieu d’être tronqué, alors il apparaitradans lafig. isous la forme du triangle ABC; dans la fig II et la fig. 111, les côtés seront prolongés jusqu'au sommet C, de telle manière que C lig. Il soit la projection de C fig. I; on trouvera C dans la fig. IV, à l’aide de perpendiculaires abaissées de C fig. III sur XV et par le prolongement des côtés jusque vers C; enfin dans lafig. V, la petite ellipse G' G' disparaîtra, de telle sorte que, dans cette figure, le cône n’apparaitra plus que sous la forme de l’ellipse D' D'.

§ 133. — Si dans la figure 44, I, l’axe DC n’est pas perpendiculaire à la base AB , ABC’ sera alors un cône oblique ; et , dans ce cas aussi , la construction employée pour la représentation des figures II, IV et V restera tout à fait la môme, que ce cône soit entier ou tronqué.

§ 134. — Problème. — Soit ABCD (fig. 45, II) la vue latérale d’un cylindre crcuié concentriquement, et figure I la moitié de sa base ; on doit faire connaître la projection de ce cylindre sur le plan de projection verticale , comme on le voit dans la ligure V, les angles » et .4 étant donnés.

Solution. — La figure III s'obtiendra à l’aide de la figure II, en suivant les indicationsdu § 130 ; et si l'on donne àla fig. III par rapport à xy, l’inclinaison de l'angle ,s, ainsi que cela existe pour la figure IV , l’on obtiendra la projection cherchée (fig. V) , à l’aide des ligures IV et II , en suivant les indications du § 107 ou 108. Les points correspondants ont été marqués de la môme manière, pour qu’on puisse, à leur aide et celui des lignes ponctuées , facilement retrouver la cons-

DESSIN GÉOMÉTBIQCE.

traction : ainsi , par exemple, A'D' sera la projection de AD , et E H' celle de EH, etc., de même, il faut considérer le point 1 dans la ligure II comme étant dans les figures V et 111 1a projection des lignes I’I* et ii, et IK comme étant la projection de toutes leslignes désignées l’ K' et i A dans les figures V et III. (11 faut se reporter à la remarque faite à la fin du § 130 pour ce qui est relatif à la longueur du diamètre du cylindre.)

§ 133. — Si ce cylindre est formé .comme la circonférence d'une roue , par l'assemblage de plusieurs parties ou jantes AO, >1 , IL, MD [fig. 1 ) , et si l'on doit les représenter dans la figure II. III et IV, dans leur projection , dans ce cas, le joint AE {fig. I) apparaîtra dans la ligure II sous la forme de A E F B ; dans les figures III et IV, sous la forme de la droite lie , et dans la figure V, sous celle de A’E’F'B’. La coupe II delà figure 1 sera projetée dans la figure II sous forme de la droite I K , dans les figures III et IV, sous celle de tt AA, et dans la figure V, sous celle de IT K' K’, projections qui sont aussi faciles à trouver que celles des autres coupes , et qui sont rendues très apparentes dans cette figure.

§ 1 36. — Les formes réelles de ces coupes sont des rectangles qui tous sont semblables au rectangle A EF B de la figure II. Mais si on se représente une coupe . par exemple, MK , menée dans une direction à volonté, à travers le cylindre en question ABCD (fig . 43 II) , et si Ton doit indiquer la forme réelle de celte coupe, on prolongera alors MK assez loin , pour qu’elle coupe en Q, S, R, et P les prolongements de AB , E F , G H et CD, on décrira ensuite sur PQ et RS des ellipses, dont les grands axes seront ces lignes elles-mêmes, et dont les petits axes seront AD et EH , et enfin des points M et K on élèvera sur P Q des perpendiculaires que l’on prolongera jusqu'à ce qu'elles coupent ces ellipses ; M'K* sera alors la forme réelle de la coupe menée par MK.

La justesse de cette manière de procéder devient évidente , lorsqu’on se représente le cylindre en question ABCI) prolongé des deux côtés jusqu'en P et Q , et lorsqu'on se représente une coupe menée par PQ. Il en résultera la formation d'un plan de section circonscrit par deux ellipses, dans lesquelles la partie M'K' répondra à la ligne MK et au cylindre ABCD.

§ 137. Problcmt’. — Un cylindre ABCD {fig. 46),oblique-