DEUXIÈME PARTIE

ment coupé , a , par rapport au plan de projection verticale . une position telle que la section apparaît sur ce plan sous la forme delà ligne droite AD ; on doit dessiner sur le plan horizontal la projection du plan sécant.

Solution. — Comme chaque plan qui coupe un cylindre dans une direction oblique à sa base forme une ellipse , et comme la projection d'une ellipse est de nouveau une ellipse, il s'ensuit que la projection cherchée aedca sera aussi une ellipse, dont le grand axe ai/ devra être la projection de AD, et dont le petit ave ee= ff= RC, et par suite l'ellipse sera facile à tracer d'après les indications du §104. De même, on pourra promptement faire connaître la forme réelle du plan sécant projeté verticalement en AD, puisque celui-ci sera une ellipse AC D HA , don t le grand axe A I) et le petit axe GH=BC son t donnés.

Mais pour donner la solution d’une manière générale et applicable à d'autres cas , il est encore nécessaire de montrer comment on peut trouver chaque point isolé de la courbe à chercher. Dans ce but, on dessine la section droite RC du cylindre, représenté ici parle cercle A’G'B'H', dont le centre O se trouve sur le prolongement de EF ; on choisit sur AD un point quelconque, soit K, et l’on détermine sa projection sur le plan de projection horizontale, comme suit : on mène de K une ligne K K' parallèle à ry, de K on abaisse une perpendiculaire sur xy, sur laquelle on fait nk=nk = NK’ = NK' ; k et k seront ainsi deux points de la courbe que l’on cherche ; car la ligne k'k' donne la longueur de la corde qui est aussi représentée dans AD par le point k ; et comme AA = K’K', alors A et k seront les points dans lesquels la surface cylindrique est coupée en AD par le plan. Si l’on fait aussi KL = KM — NA'=NA' , LetM seront, par le même motif, deux points sur le contour du plan sécant qui seront dans leur forme véritable. Par le même procédé , on trouvera les points i et », ainsi que P et Q et la projection de tous autres points que l’on pourrait encore admettre sur AD. Il y a encore à remarquer que le cercle A'G’ B'H'A' représente en même temps la projection de l’ellipse passant par AD sur un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre.

§ 1 38. — Si dans la figure 4G , la coupe DH a lieu sous un angle de 45 degrés avec DC , alors le plan d’intersection passant par DR formera bien encore en effet une ellipse; cepen-

dant sa projection horizontale devra se montrer sous forme ife cercle . parce qu'alors la projection de 1)R, ou la ligne rfr , doit être égale au diamètre du cylindre . et par suite les deux axes de l'ellipse seront égaux.

Si l'angle RDC devient plus grand que 45* , la projection du plan sécant apparaîtra de nouveau sur le plan horizontal comme une ellipse , mais dont le grand axe sera le diamètre du cylindre.

§ 13ÎL — Lorsque le plan qui coupe un cône n’est pas parclle à sa hase , mais passe cependant par tous les points de la surface conique, dans ce cas, le contour de ce plan, aussi bien que si projection quelconque, formera une ellipse, facile à déterminer par ce qui a été dit jusqu’à présent relativement aux ellipses , et surtout parce que , dans ce ras, les deux axes peuvent facilement être indiqués.

§ 140. — Problème. — Un cône droit abc ( fig . 47) est parallèle avec l’axe bd , et il est coupé de telle sorte que le plan sécant est perpendiculaire à la base du cône. Trouver la projection de ce plan sur le plan vertical.

Solution. — On trace an dessous de la ligne de terre xy le plan horizontal du cône, qui apparaît sous forme d’un cercle a' d'c'd', dont le diamètre a'c' = oc , et dont le centre le (qui se trouve sur le prolongement de Taxe bd) est la projection du sommet b , et l’on mène à une distance quelconque de b’ la ligue i’r’ parallèlement à a'c', laquelle ligne doit être sur le plan horizontal la projection du plan sécant, et qui devra apparaître ici sous forme de ligne droite, à cause de sa position perpendiculaire. Du point b’ , on décrit , avec l’écartement b'k' = b‘e' et avec les demi-diamètres pris à volonté, b’l‘, but et b'n , des cercles concentriques, dans les points k, I ,ni, et n’ , on élève des perpendiculaires sur la ligne a'c et l’on mène des points dans lesquels la ligne ah du plan vertical est coupée par ces perpendiculaires d’autres lignes parallèles à ac. Ceci fait, on élève des points d'interser!ion ï . h' .g' ,f ,e' ,6 des... perpendiculaires que l’on prolonge jusqu’à ce qu'elles soient coupées en i, h. g, f.e. o... par les horizontales menées par n , m, l.k, ou bien on prend avec le compas l'une après l’autre les distances des points d’intersection des cercles concentriques de e' à la ligne r , et on les porte sur les lignes droites cor-

OEIXIÉME l'ARTIE.

respondantes du plan vertical, c’esl-à-dire on fait sf — $o — vf ' , tg—tp = ëg , u h = uq = eh et tli = dr = e i, et on mène par les points!, h, g,f, c, o, p, q, r, une cou rbe ; celle-ci sera la projection verticale de la ligne d’intersection cherchée du cône avec Je plan dans le cas donné. Car, puisque les ligues qui sont imenèes par k,l,m et u parallèlement à ac sont les projections des cercles qui en dépendent , courbes qui doivent apparaiitnc dans le plan vertical sous forme de lignes droites , on n'a alors besoin que de déterminer sur les lignes correspondantes du plan vertical les points i,h',g,f ë ,6,p,q , et r, dans lesquels la ligne i r est coupée par ces cercles, pour pouvoir donner la forme exacte de la ligne d’intersection. Mais t est la projection de i , h celle de h. g celle de g , /' celle de f , e' celle de e , u celle de u , etc., et par suite la ligne ier, menée par ce* points, sera la projection cherchée de 1a ligne sécante, sur laquelle ■e est le point culminant.

§ 141. — On donne le nom d’hyperbole à la courbe qui résulte de l’intersection d'un cène droit avec un plan perpendiculaire à sa base. Cette ligne deviendra toujours plus grande ou plus haute , plus la coupe faite se trouvera prés du diamètre a'c' , et plus petite plus elle s'en éloignera : si par exemple, v'w' était la projection du plan d'intersection, vdw serait, dans ce cas, l’hyperbole qui en résulterait, et que l'on peut trouver ainsi qu’on a trouvé ier. On comprendra, du reste, sans plus d’explication, que l'on pourra trouver avec d'autant plus d’exactitude cette ligne que l’on aura employé un plus grand nombre de cercles auxiliaires.

§ 142. — Si le plan d'intersection était perpendiculaire à la base du cène, mais si, au lieu d’étre parallèle à la surface du plan . il avait une certaine inclinaison vers elle, telle, que sa projection horizontale forme comme f r’ avec xy un angle aigu, alors on trouvera la projection de la ligne d'intersection,, d'après les indications du §140. Dans le cas présent , où è'e’= b'e’ , on doit la considérer, en quelque sorte , comme étant la projection de l'hyperbole ier, si celle-ci vient à prendre la position de iV. Mais comme la projection d'une hyperbole se trouve être de nouveau une hyperbole, la ligne trouvée sera donc aussi une hyperbole.

Si la cuupe passe paré , la projection sera conqiosée de deux

1 1)4 • DESSIN r.OMÉTRIQl'F..

lignes droites, et elle sera figurée sur le plan vertical par une ligne droite , si le plan d’intersection est perpendiculaire à la surface du plan vertical, c’est-à-dire si i V forme avec xy un angle droit.

§ 143. — Problème. — On a dirigé j>ar un cône droit, dont la projection verticale est représentée dans la figure 48 par la figure I, et la projection horizontale par la figure II, une coupe DE parallèlement au côté AB, de telle manière que le plan d'intersection est perpendiculaire au plan vertical ; on doit tracer la projection verticale et horizontale de la ligne d’intersection.

Solution. — On trace dans la ligure III le triangle A ’FG égal au triangle ABC, après quoi on mène du point D une parallèle à xy, qui coupera en D l’axe A’C’ , et de même du point D une perpendiculaire suri// qui coupera en d le diamètre bc. On abaissera encore une perpendiculaire sur xtj du point E, qui coupera la circonférence de la projection horizontale en e etc : l’on fera alors c’E =c’E' —ei, et ainsi on aura déjà trouvé trois points E'D’ et E' dans la figurelll. et e,d, e, dans la fig-II, qui appartiennent à la courlie cherchée. Pour déterminer ensuite la position des points intermédiaires, on choisira un point à volonté H sur DE, et l’on mèuera par celui-ci une ligne KL parallèle à BC, ligne que l’on prolongera vers la fig. III ; sur elle on tracera un demi-cercle KM,. D’autre part, on abaissera de KL la perpendiculaire H N, et l’on fera If N’ = H’N’ = H N; de cette manière, on aura dans N" et N’ deux nouveaux points de la courbe sur le plan vertjcal. Si , enfin , dans la figure II on décrit du point a avec la distance ak un cercle, de telle manière que kl = KL, et si l’on prolonge la perpendiculaire H N jusqu’à ce qu’elle coupe en n etn ce cercle, l’on aura aussi deux points de la courbe sur le plan horizontal. Par suite, les courbes E’N'Ü’N'E et endne seront les projections demandées sur le plan vertical et horizontal, projections qui seront trouvées avec d’autant plus d’exactitude que l’on admettra pour leur détermination un plus grand nombre de points sur DE.

La justesse de ce procédé est évidente si , par la pensée , on relève le demi-cercle K N L de la figure I jusqu'à ce qu'il vienne poser perpendiculairement sur ABC: alors UN sera la moitié