DEUXIÈME PARTIE

d'une corde dont les extrémités se trouvent sur lu courbe d'intersection du plan avec le cône.

§ 144. — Pour trouver la forme réelle de la courbe d'intersection DE, on mènera sur DE (fit). I)enD, II et E des perpendiculaires; ensuite on mènera D’I parallèlement à DE; on fera IE' = I’E' =ci, de même H'N' = H'N'=/in, et on mènera la courbe E'.YD'N'E' ainsi que la droite E'E'. Ici aussi on frouvera avec d'autant plus d'exactitude les courbes, qu'on adoptera un plus grand nombre de points en DE, dont la position sera déterminée comme nous l’avons indiqué pour le point II du paragraphe précédent.

Cette courbe ainsi trouvée se nomme une parabole, et comme la projection d’une parabole est de nouveau une parabole, il s’ensuit que les courbes E D E et ede, qui sont les projections de E’ D’ E', seront des paraboles.

§ 145. — Problème. — La droite ef représente sur le plan de projection horizontale, la projection de l’intersection d’une sphère A lî C D 4!)) par un plan; indiquer la projection de la ligne d'intersection sur le plan vertical.

Solution. — Le contour de toute intersection faite dans une sphère par un plan forme toujours un cercle , peu importe le point de la sphère dans lequel a lieu l'intersection ou quelle est la direction suivant laquelle celle-ci a été faite (avec celte différence que ce cercle deviendra toujours plus grand, plus l’intersection se rapprochera du centre de la sphère et qu'elle aura atteint son maximum de grandeur lorsqu'elle passera par ce centre lui-mème) ; c'est pour cette raison aussi que la ligne de contour du plan passant par c f est un cercle ; et par suite il suffira de connaître la position de la ligne c f par rapport à la surface du plan vertical , pour savoir si ce cercle se projettera sur le plan sous forme de ligne droite du cercle ou d’une ellipse ( § 103 ). Pour que ce dernier cas ait lieu , il faut que ef forme avec un angle aigu , et on pourra alors tracer sur ABCD l’ellipse (suivant le § 104), puisque, comme c’est facile à voir , le grand axe de celle-ci GG — ef et que le petit axe EF doit être la projection de ef.

Si l'on ne voulait pas se servir de la méthode de solution du § 104, mais, au contraire, rechercher chaque point pour la

TRAITÉ DU DESSIN GÉûMÉTRlÿlK. [\

466 dessin eÉoatnuQCB.

formation de l’ellipse, voici alors comment on procéderait : oii choisit sur ef un point à volonté p, on décrit avec ap un cercle , on élève dans les points q et r, dans lesquels il coupe le diamètre bd, des perpendiculaires sur a b, et on mène par les points Q, Q, R et R, où la circonférence du cercle les rencontre, les lignes Q R etQR parallèlement à B D ou x y ; ces droites seront les projections sur le plan vertical du cercle qpr passant par qr. Si maintenant on projette en QR et QR, tei points p et s où la ligne e f coupe ce cercle, les points obtenus par là P, P, S et S seront de nouveau quatre points sur le contour de l'ellipse cherchée ; car ils sont dans le plan vertical les projections des points où ef, qui est la projection horizontale de la courbe d’intersection, rencontre sur le plan horizontal le cercle passant par q r.

Pour indiquer sur le plan vertical les points T et T où la circonférence du cercle rencontre l’ellipse , on élève sur le plan horizontal sur la ligne bd une perpendiculaire au point t, dans lequel le diamètre bd (comme étant la projection du cercle A B CD), est coupé |iar la ligne ef (comme était la projection de l'ellipse G F GE).

§ 146. — Problème. — I ne. moilié de sphère creusée A B G ( fi y. 60. 1. ) a, par rapport aux deux plans de projection, la position représentée en fiy. t ; tracer la projection horizontale

fia- H-

Solution. — Un construit d’après le § 104 les deux ellipses caet de fiy. Il comme étant les projections des cercles AC et D E fiy. 1 ) , et avec O F on décrit du point o, comme centre, le demi-cercle ofo, et l'on obtiendra ainsi la projection demandée.

En effet , qu’on se figure par O F [fiy. 1 } un plan posé parallèlement au plan de projection horizontale, alors ce pian formera en réalité un demi-ccivle et apparaitra aussi comme tel dans la iig. 11 , puisque toutes les ligues de projection , ainsi qu’on peut le voir en F, toucheront à l’entour de ce demicercle la demie-sphère et représenteront sur le plan de projection horizontale le demi-corde ofo tracé dans sa véritable grandeur.

§ 1*7. Si on donne à la figure 60. Il la position de la figure 111