DEUXIÈME PARTIE

par rapport k xy, c’est-à-dire si on se représente la demisphère comme tournée autour du point de contact P, jiour obtenir dans la fig. IV la' projection de la demi-sphère dans une position inclinée au plan veitical, on construira alors les deux ellipses A’ U’ C’ O' et E' O' I)' O’ du cercle à double inclinaison. d’après le § 107 ; on mènera par le centre ode la fig. III la ligue;/// parallèle kxy; on déterminera dans la fig. IV, d'après le § 108, les grands axes G II et IK des deux ellipses en question , et on décrira du point O avec le demi-diamètre 0 G le demi-cercle GP H, lequel touchera en un |>oint P la ligne de terre x y.

Ici aussi on se convaincra de l'exactitude de ce procédé , si l’on se rappelle que ;//i a été mené parallèlement à la ligne de terre; qu’cnsuilc le plan vertical passant par ;///, parcela même qu'il coupe la demi-sphère , forme un demi-cercle et est parallèle au plan «le projection. C’est pourquoi aussi il faut que la projection de ce demi-cercle soit le demi-cercle de même grandeur G P 11 . dont le diamètre dans la figure IV est la ligne GH=AB.

Si l’on voulait réellement exécuter une coupe semblable par ijlt {fig. III), et enlever le quart de sphère situé au-dessous de ;//*, dans ce cas, la projection du ipiart de sphère restant situé au-dessus de gh dans la figure IV, apparaitrait sous la forme d'une figure terminée par les demi-ellipses H A O’G, K E’OI elHP'G, KQ’I.

148. — Si l’on se représente que, dans la figure 50, I, la moitié de sphère a été divisée en deux «piarts de sphères par un plan passant par ABC, alors la ligne cf sera, dans la fig. il et par suite aussi dans la fig. III , la projection de cette coupe. Si l’on se représente maintenant dans la fig. Ifl le quart de sphère situé à droite comme enlevé, et si on veut représenter dans la fig. IV la projection de. l'autre quart resté à gauche, dans ce cas, on conservera les deux moitiés d’ellipses A’OGC' etE'O'lD . et, en outre, on tracera par les points A ,P‘ ,C', et E , Q, D deux moitiés d’éllipscs. Ceci sera facile à exécuter dans le cas oii le diamètre AC de tout le cercle et la direction cf {fig. III) de la projection sont connus sur le plan horizontal , où l'on peut, d’après les §102 et 104, construire

i 08 DESSIN GÉOMÉTRIQUE.

les ellipses en entier ou en retrancher les portions désignées.

Si l’on se figure enfin le plan d'intersection, passant par ÜB (Jig. t), dans ce cas aussi on peut trouver la projection dans la fig. Il et IV du quart de sphère A OB, d’après le procédé déjà plusieurs fois indiqué; de même que l’on pourra toujours trouver, avec un peu de réllexion, les projections, quelle que soit leur position par rapport au plan de projection.

§ 149. — Problème. — Si l’on se représente le plan abc il efghika (fig. 51 , 1) faisant autour de l’axe u b une révolution complète ; ses limites edefghika , composées de lignes droites et courbes, engendreront alors un corps terminé par des surfaces courbes et planes , en tant que chaque point de ces limites décrira un cercle. (Voyez la fin du§ 100.)

Si maintenant ce corps a vers oc y ou vers le plan de projection verticale la position figurée dans la lig. 1, il s’agit de trouver sa projection sur ce même plan vertical dans la lig. II.

Solution. — Comme ce corps entier est composé de deux corps engendrés, d’une part, par les lignes cil et ef, et de l’autre , par la courbe fghika, et comme on a déjà fait connaître ce qu'il est nécessaire de savoir pour la projection de ces deux cylindres, il ne sera donc nécessaire ici que de faire voir quelle est la projection de ce dernier corps dans la lig. II.

A cette lin , on commence par choisir sur la courbe «/‘plusieurs points à volonté, toutefois de telle manière que, parce moyen, on parvienne à produire le plus exactement possible la forme du corps. Si k est un de ces points , on mènera alors kl perpendiculairement sur a b; dans le point d'intersection o, on élève sur xij une perpendiculaire qui coupe en O la ligne AC menée parallèlement à xy (fg. II) , et on fait là O 0’ = ÜÜ' = ok : dans ce cas , O’ et O seront deux points de lajcirconférence delà projection qu’on cherche ; car, puisque a k. dans son mouvement autour de ab, décrit un cercle, la ligne O'O' sera le grand axe de l'ellipse qui engendre le cercle Ik ( fig . II) incliné vers x y; et comme on peut se représenter celte ellipse comme étant le contour d’un plan d’intersection passant par Ik, il faut que ses limites extrêmes O' et O' se trouvent situées dans le contour de la projection (fig. II), attendu qu’ici les lignes de longueur et de largeur peuvent seules apparaitre en