DEUXIÈME PARTIE

(fig. 54-A), de même diamètre , se coupent suivant une direction oblique, et dp telle manière que leurs axes se trouvent dans un même plan ; tracer dans les différentes figures les projections des lignes d'intersection , ainsi que celles des cylindres en général.

Solution. — Soit la figure A la vue antérieure, alors la projection des intersections des deux surfaces apparaîtra dans cette figure sous forme des lignes droites mk et «/; car comme les deux cylindres qui se coupent ont des diamètres égaux , le contour du plan d’intersection passant par le cylindre abcd, et figuré par la ligne mk, rencontrera le contour du plan passant par le cylindre efgh , également représenté par mk, et formera deux ellipses égales , attendu que les axes des deux cy lindres, aussi bien le grand que le petit, sont égaux les uns les autres. L'on doit, par suite, envisager l’ellipse passant par»! k comme un plan suivant lequel , par exemple , les cylindres akmdelgkmli, obliquement coupés, se réunissent; de même l’ellipse passant par i l peut être considérée comme étant le plan de jonction sur lequel les deux cylindres bile elliilg, obliquement coupés, viennent aussi se rcncpntrer , puisque la ligne i l peut figurer aussi bien la projection d’un plan d’intersection passant par le cylindre abcd que la projection d’un plan d’intersection passant par le cylindre efgb. Par ces motifs, les lignes d’intersection de ces deux cylindres égaux ne forment pas des lignes à double courbure, mais elles apparaîtront comme étant des ellipses, et, par suite , comme lignes à simples courbures. Dans la vue de côté (fig. B) , la coupe passant par mk (fig. A) apparaît comme une ellipse m okp, et celle qui passe parti aussi comme une ellipse iolp. Dans la vue ( fig. C), le cercle piom est aussi bien la projection du cercle passant par ad (fig. A) que celle de l’ellipse passant par il, km, et bc.

Si le cylindre abcd (fig. S4-A)se meut autour de son axe rs, de telle manière que la projection horizontale prenne la position figure D ; alors on trouvera la vue figure E à l’aide des deux vues A et B. Dans cette vue se trouve l’ellipse mpko qui est la projection de l’ellipse passant par km (fig. A), comme l’ellipse iplo est la projection de l’ellipse passant par il (fig. A).

Os deux ellipse» se coupent dans la ligne droite p o , ligne dont le point 0 est la projection dans la figure A . de telle sorte que l'on peut comprendre en même temps . à l’aide de la fig. E , comment on peut trouver les lignes d'intersection de il et et surfaces elliptiques gui ont une position inclinée vers le plan de projection verticale.

Si l’on se représente enfin les cylindres partagés en quatre portions séparées les unesdes autres par les intersections; dans ce cas, on peut, comme on l’a indiqué pour la figure précédente , dessiner ceux-ci à part. Quant à ce qu’il y aurait encore à dire pour cette construction , un examen de ces figures suffira, ainsi que ce qui a été dit précédemment.

§ 165. — Problème. — Deux cylindres droits ABCDctEFGH ( desquels A 15 G 1) est représenté comme demi - cylindre ) {fig. 551), de différents diamètres , se coupant dans une direction oblique, et de telle sorte que les deux axes se trouvent dans un même plan ; indiquer les projections des lignes d’intersection à double courbure des deux surfaces cylindriques qui en résultent.

Solution. — Dans la vue latérale {fig. 11), l'arc nbn' est la projection de la ligne d’intersection , comme il est facile de le démontrer. Mai* pour trouver celle projection dans la fig. I , on choisit dans la figure II un point à volonté p situé entre b et h; de ce point on abaisse sur xtj, vers la figure I , une perpendiculaire ; on projette ensuite ce même point sur le contour de l’ellipse FKtîk’ en p et p', et de cesdeux derniers points on mène de rechef des perpendiculaires sur xy , jusqu’à ce qu'elles coupent en pci p' la ligne FG 'fig. I). Si maintenant on élève en ces points des perpendiculaires sur FG, alors les points;; et p. dans lesquels ils coupent les lignes horizontales menées en premier de;< (fig. II), seront deux points de la courbe cherchée. Un agira de la même manière pour le point r pris à volonté entré b et » , à l’aide duquel on obtient dans la fig. I les pointsr et r’ ; si enfin on relie les points ainsi trouvés avec les points L N et M (dont la position s'indique d'elle-mèmc dans le dessin) par une ligne courbe , alors celle-ci sera la projection de la ligne d’intersection des deux surfaces cylindriques dans la figure I.

BEL' MEME PABTIE.

La justesse de cette opération est rendue évidente par la construction elle-même , car les pointa // et p' de la courbe L N M n’ont pas changé de distance par rapport à BC. parce que p>t ( fig . \)=ptfiq. Il), et leur distance horizontale a été rigoureusement déterminée par la projection des points pet p’de l'ellipse FK.GK’ vers la ligne FG, et de là sur la courbe d’intersection.

Il va sans dire que le cylindre EFGII, lorsqu'il pusse dans la moitié supérieure (qui manque ici) du demi-cylindre A BC D {fig. 1), décrit de nouveau dans son passage la courbe LNM qui vient d’être trouvée, seulement dans une position inverse de celle qui est figurée ici.

§ 166. — Pour trouver dans la projection verticale inférieure (fig. 55 III) la projection de la ligue d'intersection des deux surfaces cylindriques, on abaisse des points Lrp N’p'r' M (fig. 1) des perpendiculaires sur la fig. III ; dans celle-ci on fait rr'—rs (fig. II), pp' (fig. \\\)—pg (/f</.ll)et mn' (fig. Ill)=m »»' (fig. H), en ayant cependant soin que la ligne médiane BC devise lesdites perpendiculaires en deux parties égales, connue cela a eu lieu en n de la ligne nn' (fig. III), ensuite on relie ces points ainsi trouves avec l et m par une courbe, et l’on aura ainsi dans la fig. III la projection demandée.

§ 107. — Si ABCD (fig. 53 I), au lieu d’être un cylindre, était un prisme à trois pans, par exemple, et que A' b A’ fig. II) fût sa base, et si ce prisme était coupé par un cylindre EFG H, alors la projection de l'intersection des deux corps sera facile àdéterminerd’aprèsceqiii a été dit jusqu'ici, cl elle sera ligurée dans la (ig. I par la courbe LU M à simple courbure, sans aucune difficulté.

§ 168. — Probiïmc. — Un cylindre droit ABC I) (fig. 56 ) est .coupé par un cône droit EFG, de telle manière que leurs axes, se rencontrant perpendiculairement, se trouvent dans un même plan ; tracer la projection de l'intersection des deux surfaces courbes.

Solution. — Dans la lig. il les arcs miin' et o lo‘ sont les projections des lignes d'intersection. Dans la fig. I les points I, M, K, et L, O, N, s'obtiennent d'eux-mèmes, attendu qu'ils appartiennent à la courbe, et il ne reste donc plus que de trouver entre ces points d’autres points pour déterminer le

tracé delà courbe. On choisira, à ceteffc-l, entre i et m {fig. Il), un point à volonté />,on mène par ce point une perpendiculaire sur xy allant vers la fig. i , laquelle ligne coupera en même temps, dans la fig. Il, les côtés EH et EH' du cône en r et r’ ; de r on abaisse une perpendiculaire r s sur HH' et on décrit avec G s un demi-cercle. Si maintenant on abaisse une perpendiculaire pq du point p admis u volonté sur II II', et si on la prolonge jusqu’à ce qu'elle coupe le demi-cercle en/)' ; enfin si l'on fait r/> = r/)’ l^fig. I )=qp' (fig. II), alors p et p' seront deux points appartenant à la courbe (fig. 1). Et si on cherche encore un plus grand nombre de ces points, et si on relie par la courbe IMK, on obtiendra alors la projection de la ligne d’intersection à double courbure dans la fig. l.|

On restera convaincu de l’exactitude de ce procédé en examinant dans la fig. 1 les distances verticales des points p et p' à Bc et leurs distances horizontales, telles que les donnent la construction de la figure et surtout en comparant les deux figures.

Il n’est pas besoin de dire que la courbe LON peut s’obtenir de la même manière.

Si l’on décrivait dans le demi-cercle tracé au-dessous H H' avec G u un demi-cercle concentrique ainsi que la courbe m p’ ï p’ m' , on aura figuré la projection horizontale de la moitié de la courbe d’intersection. Il va sans dire que cette ligne courbe pourra être tracée avec d’autant plus d’exactitude qu’on aura admis un plus grand nombre de points sur l’arc im.

§ 169. — Si A BCD (fig, 561) était un prisme à quatre pans, alors le point le plus élevé de la ligne d’intersection recule vers V, comme on peut le voir par la figure 1, et la courbe à simple courbure iS’K sera trouvée par la voie indiquée, seulement il sera nécessaire, pour la détermination de ses points, de tracer au-dessous de H H’ d'autres demi-cercles.

§ i 70. — Problème. — Le cône droit EF G (fig. 57 I) est coupé parle cylindre droit A BCD, de telle sorte que les côtés du premier (voir la fig. 1 ) louchent le cylindre en o et o'. Trouver la ligne d’intersection des deux surfaces courbes.

Solution. — Le cercle AODO’ est dans la fig. II la pro-

l>tC(JXIÈME PARTIE.

jcclion (le l’intersection , et dans la fig. 1 il apparaît sous forme dos lignes droites T K et I1L qui se coupent en O, comme étant la projection du point () [fig. II). Si on se représente des plans passant par 1 K et H L, ceux-ci formeront, tant sur le cône que sur lecyliudrc, les mêmes ellipses dont les grands axes sont les lignes I K et 11 L et dont les petits axes sont le diamètre du cylindre [pp' fig. II).

D'après la méthode générale de solution, on choisirait dans la fig. Il plusieurs points dans la projection de la ligue d'intersection elle-même, et on tracerait les cercles et perpendiculaires correspondantes. Après quoi on trouverait que , par exemple, p et v viennent coïncider avec la ligne droite HL, et p' et v’ avec IK.Si on trace à I) (fig. Il) la lengente horizontale w ni', et si l’on décrit par comme étant la projection de ww un demi-cercle ikz' ; enfin , si on mène par n',p,v ’ , A.i", p’,o' une ligne courbe, celle-ci sera alors la projection horizontale de la ligne d'intersection, et pour la moitié seulement de la ligure ; elle formera en même temps une portion d'ellipse, j«rcc qu’elle est la projection d’une ellipse.

§171. — Si l’on donne à l’axe PP’ du cylindre A R CD dans la ligure 57 1 une position inclinée au plan vertical , alors les deux corps apparaîtront sur le plan vertical tels qu'ils sont figurés dans la tig. 111. Cette vue sera facile à dessiner, d’après les indications précédemment données; car le cène formera un triangle semblable à un des deux triangles dessinés en premier lieu : la forme du cylindre s’obtiendra facilement d'après l'inclinaison de l’axe , et l’on n’aura qu’à représenter dans {fig. III) les lignes d’intersection des deux corps qui seront la projection d'ellipses à inclinaison double, dont on connaît et les axes et l’inclinaison.

Ou a fait voir dans les figures IV , V , VI et VII , quelle forme les parties séparées du cène et du cylindre doivent recevoir d’après la lig. III. Ajoutons encore qu’il est nécessaire, pour la représentation de la fig. III, de dessiner d’abord la projection horizontale des corps dans l’inclinaison qui a été supposée vers la ligne de terre, pour pouvoir construire dans la fig. 111 les ellipses AD, RC, IK et IIL, qui en résultent.

§ 172. — Problème. — Une sphère g h [fig . 58 1) est cou-

TKA1TB PC DESSIN CKOMÉTRIQl'E. 16

1 22 DESSIN GtoMhrBIQOE.

pée par un cylindre ac, de telle manière que les axes des deux corps se trouvent sur une même ligne droite ; trouver la prejection des lignes d'intersection des deux corps.

Solution. — Dam le cas où ces deux corps ont un axe commun, le plan que l’on fera passer parla droite ik perpendiculairement au plan de projection verticale, formera un plan d’intersection des deux corps , et enlèvera un morceau de la sphère dont le contour est égal à celui du cylindre. Par suite, dans la fig. 1, les lignes droites ik et Im seront la projection des lignes d'intersection , et dans la (ig. il ce sera le cercle aeb e'.

Outre cela, il faut en général remarquer que la projection d'nue sphtre est toujours un seul et même cercle, quelque soit l’inclinaison qu'on ait donnée à un de ses diamètres, relativement au pian de projection.

§ 173. — Si l’on donne à l’axe ef (fi g. 58 1 ) une certaine inclinaison vers xg. ou une inclinaison double au plan de projection verticale, alors les cercles semblables qui passent par ab,ik, Int et de apparaissent dans la projection horizontale et verticale sous forme d’ellipses semblables que l'on [veut construire séparément d’après les § 104 ou 107, et que l’on peut ensuite replacer facilement dans les positions qu’ elles doivent avoir dans la figure.

§ 174. — Si l'on se représente sur un plan de projection Horizontale un plan vertical passant par ;/ h ( fin. 38 II), et en même temps la moitié inférieure gfh comme étant enlevé»?, alors la tig. 1 pourra aussi bien représenter l'image d'une demisphère concave que d’un demi-cylindre concave. Dans celte hypothèse il sera également facile de tracer la projection des corps et de leurs ligues d'intersection , surtout si leurs axes ont l’inclinaison indiquée dans les paragraphes précédents. Seulement il faut observer qu'il y aura des lignes qui devront être tirées eu plein, et d’autres qui ne devront être que poncuées selon qu’elles seront vues ou cachées.

§ 175. — Si abcd {fig. 38 I) est un prisme, par exemple à 4 pans, ayant une base de forme carrée ache' (fig. II), alors on décrira avec o g. comme rayon, uncercle inscrit à ce carré ; on mènera dans la tig. 1 la ligne droite st qui sera la projec-

DRCXIÈME FARTie.

lion de ce cercle, el l'on projettera les points q cl r de la fig. U sur la fig, 1 dans la ligne st. Si alors on trace dans cette projection verticale les courbes Iqp et prm , elles formeront la projection des lignes d'intersection de la sphère avec le prisme sur le plan vertical. F.t si, pour une détermination encore plus exacte de cette projection des lignes d'intersection, on veut admettre un plus grand nombre de points, on décrira alors dans la fig. 11 du point o plusieurs cercles dont les rayons devront èlre toutefois plus grands que oq et plus petits que on; on projettera ceux-ci aussi bien que leur intersection avec ac et eh de la fig. II dans la fig. 1 , et l'on aura ainsi trouvé les points intermédiaires.

§ 176. — Prohlnne. — l'n cylindre F.Fti H passe par une demi-sphère A I) B ( fig. 30 I ) , suivant la direction de cette figure ; on veut connaître les projections de la ligne d'intersection à double courbure de ces deux corps sur la fig. I et II,

Solution. — Dans le plan horizontal ( fig. II) la projection de la ligne d’intersection de ces deux corps apparaît sous forme d’un cercle nqmq' , et il faudra commencer par déterminer la projection de cette courbe dans la lig. I. A cet effet, on prendra dans le cercle n q ni q' [fig. II ) un point à volonté p, on décrira avec le ‘rayon op un demi-cercle, on élèvera au point s , où il coupe le diamètre A' B' , une perpendiculaire qui coupera dans la fig. I le cercle ADB en t; par ce point * on mènera une horizontale s.v ; alors les points p et p' de cette ligne, oii elle est coupée par les perpendiculaires élevées de p «t P' {fig- II), seront deux points de la courbe cherchée.

Comme les points p et p' dans la fig. II se trouvent situés dans la projection de la ligne d’intersection des deux corps, il en résulte que ces deux points appartiendront aussi bien à la surface de la sphère qu’à celle du cylindre ; mais ils se trouvent en même temps dans le cercle décrit avec op .c t comme la ligne droite * s' dans la fig. I est la projection de ce demi-cercle , il s'ensuit que les points p et p' dans la fig. I seront les projections des points p et p' dans la fig. II.

On peut encore se convaincre plus rigoureusement de la justesse de ce procédé, lorsqu'on se rappellera qu'un plan passant par [fig. I) parallèlement au plan horizontal, ap-

1 24 DESSIN UEOMÉTRIQL'E.

paraît dans sa projection dans la fig. II , sous forme de deux cercles non concentriques sis' et nqmq'. Mais ces cercles situés dans un plan appartiennent aux surfaces des deux corps qui se coupent , il faut par suite aussi que les points p et p' , dans lesquels ces cercles se coupent . se trouvent placés à la surface de ces deux corps , et par conséquent ils doivent être deux points de la ligne d’intersection des deux surfaces courbes. Et comme p et // (fig. I) sont les projections de ces points et se trouvent sur la ligne droite s s’ qui est la projection de ces deux cercles, il faudra aussi que p et p' (fig. I) soient deux points de la courbe d'intersection.

Le même raisonnement peut être fait pour la détermination des points q. r. m et n , seulement il y a à remarquer qu’il n’est pas nécessaire de s’occuper des points q et q' dans la fig. II, parce qu'ils sont donnés par les point q et q' de la fig. 1, où les cédés EH et F(ï du cylindre passent à travers la sphère ; qu’en second lieu, les points m et n (fig. Il) sont le point supérieur et inférieur de la courbe dans la fig. I ; et qu'en troisième lieu; si le point r dans la fig. II est choisi de telle manière que sa perpendiculaire sur xy passe par le point p, cela simplifie la construction.

Enfin, il y a encore à remarquer que- si dans la fig. 1 on construit la sphère entière, la ligne d’intersection, suivant laquelle le cylindre entre dans la sphère, est reproduite exactement à sa sortie inférieure, et que par conséquent la courbe est la même , seulement dans une position inverse.

§ 177. — Si on se représente le cy lindre comme enlevé de la sphère , alors ces courbes formeront les projections de la ligne d'ouverture faite par le cylindre dans la sphère.

§ 178. — Pour trouver la projection de cette ligne d’intersection dans la vue latérale (fig. 70 III), on mène des points!, A, /,« et t (fig. I) despcrpendiculairesà la ligne de terre verticale X Y, se dirigeant vers la fig. III, perpendiculaires qui vont couper le rayon A’D' de la sphère en i, k, l, s, et t: l'on fait ensuite im (fig. III) = om (fig. Il) , kr (fig. III) = rr (fig. II), lq(jg. III) ~wq(fig.W),sp (Jig.\n)=vp(fg.\\)eUn(/g. III) =on (/ïg. Il ) . La courbe mu que l' on mène après cela par ces points est laprojection cherchée delà ligne d’intersection des deux corps.