DEUXIÈME PARTIE

l T n examen attentif de la figure justifiera sans peine ces constructions, si on songe eu outre rpic les horizontales que l’on a menées uans la fig. III , par les points i, k, /, s et t , sont les projections des cercles correspondants de la fig. II.

§ 1 70. — Problème. — Une sphère A BC D (fig. 60 I ) est coupée par le cylindre E F G H , dont le diamètre est égal au rayon île la sphère dans la position et la direction que l’on a sotislesycux; dessiner les projections des lignes d’intersection à double courhurc dans les fig. I, II et III.

Solution. — On choisira de nouveau dans la fig. Il, dans laquelle 1 a projection de la ligne d'intersection apparaît sous forme d'un cercle, les points p, q et r, comme on l’a fait remarquer pour la figure précédente, on décrira avec op, og et or des deini-cercles , on projettera ceux-ci dans la fig. I où ils apparaissent sous forme des lignes droites II' A A' et if, et l’on déterminera sur elles p et p', q et 7 ’, r et r’ comme étant les projections des points correspondants de la fig. II. Si donc on mène par ces points une ligne courbe, telle qu'elle est tracée par N et D dans la fig. 1 , celle-ci sera la projection de la courbe cherchée ; il va sans dire que la ligne d’intersection N B, passant par la moitié supérieure de la sphère , doit être symétrique avec la courbe que l'on vient de trouver.

La courbe ND’, dans la lîg. III, qui est la projection de la ligne d’intersection des deux corps dans la vue latérale est obtenue par la voie indiquée au § 178 , c’est-à-dire que l’on fera ON(/ ff .Il?)=oN- (/;/. II ),'«>( /g. Hl)=mr(fig.ll),kq (fig. 111 )= sq [fig. Il, et Ip [fig. III) = mp [fg. II), et que par ces points on mènera la courbe ND’.

§ 280. — Si l'on tourne la sphère avec le cylindre qui la traverse [fig. 00 I) autour de l’axe vertical BI), de telle manière que la projection horizontale, représentée en la fig. Il, vienne se placer, par rapport à la ligne do terre , dans la position [fig. IV), alors on trouvera sur le plan vertical [fig. V) la projection de la ligne d'intersection des deux surfaces courbes, à l’aide des fig. I et IV , en se servant de la construction connue, telle qu'on la voit facilement par les points correspondants désignés par les mêmes lettres.

Le procédé est facile à justifier pour celle figure comme

pour celle des fig. I et III . si l’on fait attention que les distances verticales des points/), q, r, r'.... à la ligne de terre horizontale xy. restent les mêmes dans les trois figures verticales, tandis que, pour les fig. Il et IV. le changement des distances horizontales de res points l'un à l’autre , est produite par la construction qui est le but de la figure (I).

§ 181.— Si l'on se représente le cylindre enlevé de la sphère, alors les courbes trouvées dans la fig. 60 en I, 111 et V, comme aussi les cercles des tig. 11 et IV, formeront les projections des ouvertures faites dans la sphère par le cylindre.

Il est évident que la construction à faire reste la même, lorsqu’il s’agit de figurer des corps concaves. Il ne faudra plus que voir quelles lignes devront être tracées en plein, ou celles qu’il faut ponctuer, ce qu’il sera facile de juger avec un peu d'attention. Si la sphère est coupée par un cylindre oblique, alors la construction que l'on est obligé d’employer pour trouver la ligne d’intersection des deu.v surfaces courbes, s’obtient d’après les indications du § 388 (/g. 132 ).

§ 182. — Si une sphère est coupée par un cône droit , de telle sorte que l'axe du cône passe par le centre de la sphère, et que par suite les axes des deux corps coïncident , alors la construction qu'il faut employer, tant pour la représentation des corps eux-mêmes que pour leurs lignes d'intersection , est tout à fait conforme à ce qui a été dit dans le § 1 7 2 de la sphère et du cylindre. Ici aussi les lignes d'intersection apparaîtront dansles différentes figures comme lignes droites, confine cercles ou même comme ellipses, si la figure est inclinée, et [pourront être retrouvées sans indication nouvelle.

§ 183. — Prnbicme. — Une sphère A B CD (fig. 61.1) est coupée par un cône droit EFG, dans la position indiquée ici; tracer les projections des lignes d’intersection à .double courbure , dans les différentes ligures.

Solution. — Si l’on admet que les deux coips ont, par rapport au plan de projection verticale, une position telle que le

(!) Nous avons encore indiqué, dans le § 187, une autre méthode de solution, et peut-être plus commode pour ce cas.